考点23数列求和及其运用【考纲要求】1．熟练掌握和应用等差、等比数列的前n项和公式．2．熟练掌握常考的错位相减法，裂项相消以及分组求和这些基本方法，注意计算的准确性和方法选择的灵活性．【命题规律】数列求和及其运用是高考必考的，一般在解答题中也会出现.【典型高考试题变式】（一）公式求和例1.【2022北京，文15】已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（1）求的通项公式；（2）求和：．【名师点睛】重点说说数列求和的一些方法：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，，,等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和.【变式1】设为等差数列，为数列的前n项和，已知，，16\n为数列的前n项和，求．【解析】设等差数列的首项为、公差为d，则，所以，即，解得，，∴．而，所以数列｛｝是等差数列，其首项为－2，公差为，所以．【变式2】设数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N*.（1）求{an}的通项公式及前n项和Sn；（2）已知{bn}是等差数列，Tn为其前n项和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20.（二）分组求和例2.【2022高考北京文数】已知是等差数列，是等差数列，且，，，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.16\n【解析】（1）等比数列的公比，所以，．设等差数列的公差为．因为，，所以，即．所以（，，，）．（2）由（1）知，，．因此．从而数列的前项和．【名师点睛】1.数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项.通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一；2.数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，或)等.【变式1】【2022四川巴中市“零诊”】在等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列是首项为，公比为的等比数列，求的前项和.【解析】（1）设等差数列的公差为，则，∴，∴，解得，∴数列的通项公式为；（2）∵数列是首项为，公比为的等比数列，∴，即16\n，∴，∴当时，；当时，.【变式2】在公差为的等差数列{}和公比为的等比数列{}中,（1）求数列{}与{}的通项公式；（2）令，求数列{}的前项和．（三）裂项相消法求和例3.【2022课标3，文17】设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.16\n【解析】（1）令，则有，即.当时，.当时，①②得，即得到(n（2）令所以.【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.【变式1】【河北邯郸2022届9月联考，17】已知各项都为正数的等比数列满足是与的等差中项，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，且为数列的前项和，求数列的的前项和.16\n【变式2】【2022广西南宁二中、柳州高中、玉林高中联考】为数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【解析】（1）依题意有①当时，，得；当时，②有①②得，因为，∴，∴成等差数列，得.（2），.（四）错位相减求和例4.【2022山东卷】已知是各项均为正数的等比数列,且.16\n（1）求数列的通项公式；（2）为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和.【解析】（1）设的公比为，由题意知：.又，解得，所以.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公比q,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,q,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．【变式1】【2022山东省实验中学一诊】已知等比数列的前项和为，公比，，．（1）求数列的通项公式；16\n（2）设，求的前项和．【解析】（1）由已知①，②，①-②得即，又，，.【变式2】【2022云南省、四川省、贵州省大联考】设数列是公差大于0的等差数列，为数列的前项和.已知，且，，构成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，设是数列的前项和，证明.【解析】（1）设数列的公差为，则.∵，∴，即.又，，成等比数列，∴，解得，.16\n∴.（2）由，得.则，所以，两式相减得：，故，因为，所以.【数学思想】①分类讨论思想．②转化与化归思想.【温馨提示】①使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．②在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．【典例试题演练】1.【2022届吉林省百校联盟联考】已知等差数列的前项和为，若，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意可得：，结合等差数列前n项和公式有：.本题选择D选项.16\n2．【2022届辽宁省大连市第八中学模拟】若记等比数列的前项和为，若,,则（）A.10或8B.C.或8D.或【答案】C【解析】设等比数列的公比为，由于，显然，，则，，，选C.3．【2022届吉林省百校联盟联考】已知公差不为零的等差数列的首项，，，成等比数列，则（）A.238B.C.D.【答案】D4．【2022届辽宁省沈阳市东北育才学校模拟】在等差数列中，为其前项和，若，则（）A.60B.75C.90D.105【答案】B【解析】，即，而，故选B.5．【2022届广东省广州市海珠区测试】执行如图所示的程序框图，如果输出，则输入的（）16\nA.B.C.D.【答案】B6．【2022届广东省广州市海珠区测试】已知等差数列的公差为，若成等比数列，则前项的和为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】等差数列的公差为，若成等比数列，则，即，解得，，故选B.7.【2022届湖南省永州市模拟】在等比数列中，已知，，若分别为等差数列的第2项和第6项，则数列的前7项和为（）A.49B.70C.98D.14016\n【答案】B【解析】在等比数列中，由，得，即，，故选B.8.【2022山东省枣庄市高三上学期期末】已知等比数列中，，则其前项之和为．【答案】【解析】因为，所以，所以．9.【河北省衡水中学2022届高三上学期第三次调，10】已知等差数列的前项和分别为，若对于任意的自然数，都有，则.【答案】10．【2022届广东省珠海一中等六校联考】数列满足，且对于任意的都有，则等于.【答案】【解析】由题意可得：，则，以上各式相加可得，则，16\n所以.11.【2022届辽宁省凌源二中联考】已知数列与的前项和分别为，，且，，，，若，恒成立，则的最小值是.【答案】【解析】当时，，解得：或(舍去)，且，两式作差可得，整理可得，结合数列为正项数列可得,数列是首项为3，公比为3的等差数列，，则：，据此裂项求和有：结合恒成立的条件可得.12.【2022广东省广州模拟】已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式．（2）求数列的前项和．【解析】（1）当时，，即，解得．当时，，16\n即，所以数列是首项为，公比为的等比数列．所以．（2）因为，所以．13．设数列的前项和为，已知，，是数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）求满足的最大正整数的值.【解析】（1）因为当时，，所以.所以.因为，，所以.所以数列是以为首项，公比为的等比数列.所以.16\n故满足条件的最大正整数的值为.14．【2022届衡水金卷联考】在递增的等比数列中，，，其中.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.（2）由（1）得，.所以.15.【山东省实验中学2022届高三第一次诊，18】已知等比数列的前项和为，公比，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求的前项和．【解析】（1）由已知①，②，①-②得即，又因为，所以，因为，所以，即，16\n所以.（2）由（1）知,.错位相减.所以.16
