考点22等差数列、等比数列【考纲要求】1．掌握等差数列、等比数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等．2．掌握等差数列、等比数列的判断方法，求和的方法．【命题规律】等差数列、等比数列的性质与运用是高考必考的，一般是在选择题或填空题、解答题中考查.【典型高考试题变式】（一）基本量的计算例1.【2022新课标1】已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（）A.B.C.D.【答案】B【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算.【变式1】【改变结论】已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则.【答案】【解析】因为公差，，所以，解得=，11\n所以.【变式2】【改变结论】已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则.【答案】50【解析】因为公差，，所以，解得=，所以.（二）求项数例2.【2022新课标1】数列中为的前n项和，若，则.【答案】6【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等比数列定义、性质、通项公式、前n项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公比的方程，解出首项与公比，利用等比数列性质可以简化计算.【变式1】【改变条件】设为等差数列的前项和，若，公差，，则( )A．8B．7C．6D．5【答案】D【解析】，解得.【变式2】【改变条件】数列中，，若，则.11\n【答案】10【解析】因为，所以数列是首项为2，公比为4的等比数列，所以，因为，所以，所以，解得.（三）数列中的最值问题例3.【2022新课标卷】设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则的最大值为．【答案】【解析】设等比数列的公比为,由得,,解得.所以,于是当或时,取得最大值.【名师点睛】高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用,尽量避免小题大做.【变式1】【改变条件】设递减等比数列满足,,则的最大值为．【答案】【解析】依题意，把、看作方程的二根，解得，，因为为递减等比数列，所以，，设等比数列的公比为，所以，易得，即，所以,于是当或时,取得最大值.11\n【变式2】【改变结论】设递减等比数列满足,,则的最大值为．【答案】2（四）等差数列、等比数列的判断例4.【2022新课标1】记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=-6．（1）求的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．11\n【变式1】【2022新课标Ⅰ】已知数列的前项和为，，，，其中为常数，（1）证明：；（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.【解析】（1）由题设，，．两式相减得，．由于，所以．（2）由题设，，，可得，由（I）知，．令，解得．故，由此可得，是首项为1，公差为4的等差数列，；是首项为3，公差为4的等差数列，．所以，．因此存在，使得为等差数列．【变式2】已知等比数列是递增数列，，数列满足，且（），证明：数列是等差数列.【数学思想】11\n①分类讨论思想:对分奇数、偶数进行讨论．②转化与化归思想.【温馨提示】①要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．②注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．③由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0，但q可为正数，也可为负数．④由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.⑤在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．【典例试题演练】1.已知为等差数列，为其前项和，若，，则（）A.4B.6C.15D.24【答案】B【解析】因为是等差数列，所以，，，，所以，故选B．2．【2022届河南省许平汝联考】在等差数列中，，则的前13项和为（）A.91B.156C.182D.246【答案】C3．已知等差数列的公差为2，且，则（）A.12B.13C.14D.1511\n【答案】C【解析】由等差数列的通项公式可知，结合题意可得，解得.故选C.4.【2022届辽宁省鞍山市第一中学模拟】设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和，若成等比数列，则（）A.8B.C.1D.【答案】D【解析】因为成等比数列，所以，即，解得，故选D.5.【2022届辽宁省凌源二中联考】已知数列为等比数列，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由等比数列的性质可得：，，结合可得：，结合等比数列的性质可得：，即.故选B.6.【百校联盟2022届高三开学摸底联考】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且11\n，若，则（）A.4B.5C.6D.7【答案】C7.【百校联盟2022届高三开学摸底联考】等差数列的公差，且，若是与的等比中项，则（）A.5B.6C.9D.11【答案】C【解析】等差数列的公差，由得,可得，则，若是与的等比中项，则有，即为，由不为，可得，解得舍去），故选C.8.【河南省郑州一中2022-2022测试】设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】D11\n9．已知各项不为零的等差数列满足，数列是等比数列，且，则为()A.4B.8C.16D.64【答案】C【解析】因为，所以，又因为，，.故选C.10.【2022届浙江省温州市测试】已知数列是公差不为0的等差数列，，数列的前项，前项，前项的和分别为，，，则（）A.B.C.D.【答案】D11\n【解析】因为是公差不为0的等差数列，所以是以公比不为1的等比数列，由等比数列的性质，可得，，成等比数列，所以可得，故选D.11．【2022广西南宁三中、柳铁一中、玉林高中联考】已知等差数列满足：，求__________．【答案】21【解析】等差数列中，=2,则.12．【2022届江西省赣州市红色七校联考】已知等差数列的公差和首项都不等于0，且，，成等比数列，则等于__________．【答案】3【解析】由题意得，设等差数列的首项为，公差为，因为，，构成等比数列，所以，所以，解得，所以.13.【2022届湖南省益阳市、湘潭市调研】已知等比数列中，，则的值为__________．【答案】25【解析】设等比数列的公比为，则.所以..14.【2022届江苏省南京市调研】记等差数列{an}前n项和为Sn．若am＝10，S2m－1＝110，则m的值为__________．【答案】611\n【解析】因为是等差数列，所以，可得.15.【2022届河南省漯河市高级中学模拟】已知等比数列的前项和为，且，．（1）求；（2）若，数列的前项和为，证明:数列是等差数列．11
