考点18：正弦定理与余弦定理【考纲要求】（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。【命题规律】对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题．今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用．题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题．【典型高考试题变式】（一）正弦定理的应用例1【2022新课标2】的内角的对边分别为,若,则＿＿＿＿＿＿．【答案】【解析】由正弦定理可得．因为，所以，所以．【方法技巧归纳】正弦定理的应用技巧：（1）求边：利用公式或其他相应变形公式求解；（2）求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式或其他相应变形公式求解；（3）相同的元素归到等号的一边：即，可应用这些公式解决边或角的比例关系问题．【变式1】【例题条件由边和余弦等式给出改变为由边和正弦等式给出，所求没改变】在中，若，则为（ ）15\nA． B． C．或 D．或【答案】C【解析】由正弦定理，得．因为，所以，则为或，故选C．【变式2】【例题条件由边和余弦等式给出改变为由边和正弦及余弦混合等式给出，所求没改变】在,内角所对的边长分别为且,则（）A． B． C． D．【答案】A（二）余弦定理的应用例2．【2022新课标Ⅰ】的内角的对边分别为．已知，，，则＿＿＿＿＿＿．A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】由余弦定理得，解得或（舍去），故选D．【方法技巧归纳】利用余弦定理解三角形主要途径：（1）余弦定理的每个等式中包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，要充分利用方程思想“知三求一”；（2）已知三边及一角求另两角的两种方法：①利用余弦定理的推论求解，虽然运算较复杂，但较直接；②利用正弦定理求解，虽然比较方便，但需注意角的范围，这时可结合“大边对大角，大角对大边”的法则或图形帮助判断．【变式1】【例题中的条件的相关数据作了改变，另外给出了两边的大小关系，在命题方式基本没有改变】设中，角所对的边分别为，若，，15\n，且，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，根据余弦定理，得，即，解得或，又，所以，故选B．【变式2】【例题中的非特殊角改变为特殊解，其它的没有改变】的内角的对边分别为，若，则边等于（ ）A． B． C． D.2【答案】C【解析】根据题意中给定了两边以及一边的对角可知那么结合余弦定理可知，故选C．（三）三角形面积公式的应用例3 【2022新课标2】的内角的对边分别为,已知，，C=，则的面积为（ ）A． B． C． D．【答案】B【方法技巧归纳】（1）由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用；（2）如果已知两边及其夹角可以直接求面积，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算．【变式1】【将例题中的已知两角一边改变为两边一角，所求问题没改变】在中，角的对边分别是，已知，则，则的面积为（ ）15\nA． B． C． D．【答案】B【解析】由正弦定理，又，且，所以，所以，所以的面积为＝＝，故选B．【变式2】【例题中的两个角改为两个角的关系、所求由求面积改变为了求面积最值】在中，角的对边分别为，已知，，则面积的最大值为（ ）A． B． C． D．【答案】B（四）正、余弦定理的综合的应用例4 【2022新课标1】的内角的对边分别为，已知△ABC的面积为．（1）求；（2）若，，求的周长.【答案】（1）（2）.【解析】（1）由题设得，即.由正弦定理得，故.15\n（2）由题设及（1）得，即.所以，故.由题设得，即.由余弦定理得，即，得.故的周长为．【方法技巧归纳】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．【变式1】【将例题中条件与（2）小题的结论在给出方式上进行换位，两个小问题的解法没改变】在中，内角的对边分别为，已知．（1）求的值；（2）若求的面积.【答案】（1）；（2）.15\n【变式2】【例题由条件改为边角关系，所求问题均不变化，但均需利用正弦定理与余弦定理解决】在中，角，，所对应的边分别为，，，.（1）求证：；（2）若，为锐角，求的取值范围.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】（1）由根据正弦定理得，即，，，得．（2）由余弦定理得，由知，由为锐角，得，所以，从而有.所以的取值范围是．【数学思想】1．函数与方程思想在解三角形中求边或角时，除直接利用正弦定理与余弦定理求解外，多数情况下要结合正弦定理或余弦定理、面积公式建立方程（组）来解决．求三角形中的最值时通常要通过建立函数，通过求函数的值域来处理．15\n2．转化与化归的思想在解三角形中转化与化归思想主要体现为：（1）利用正弦定理、余弦定理进行角化边或边化角；（2）与三角函数结合进行三角函数角之间的转化．3．数形结合思想解三角形问题本身就离不开图形，特别是要注意三角形在边与角的特殊性，利用图形的特殊性进行直观处理，常常可达到快速解题的目的．4．分类讨论思想利用正确定理解决三角形的解个数时，如果含有字母参数，常常要用到分类讨论的思想．【处理解三角形问题注意点】1．已知两边及其一边的对角，应当运用正弦定理，从而得到另一角的正弦值，些时要注意对三角形的形状做出判断．2．利用正弦定理与余弦定理求角或边时，不注意挖掘条件的隐含条件，忽视边或角的大小取值范围，进行造成多解或漏解．3．利用正弦定理与余弦定理求三角形的边或边的取值范围时，常常会忽视构造三角形的条件（大边对大角、小边对小角），造成多解或扩大边的取值范围．4．利用正弦定理讨论三角形多解情况时常常会因为弄不清比较对象而致错．5．利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状时，常常会没有将已知条件用尽，提前对三角形的形状作出判断，或条件过多而没弄清楚其逻辑关系，可能会造成错判．【典例试题演练】1．【辽宁省锦州市2022届高三质量检测（二）】的内角，，所对的边分别为，，，，，，则（）A．B．C．或D．或【答案】A【解析】由正弦定理可得：．又因为，所以，所以，故选A．2．【四川省绵阳中学实验学校2022届高三5月模拟】在△ABC中，若，则为（ ）A．B．C．或D．或【答案】C15\n【解析】由正弦定理可得：，，则为或，故选C．3．【湖南省2022届高三考前演练卷（三）】在中，角的对边满足，且，则的面积等于（ ）A． B．4 C． D．8【答案】A【解析】因为，所以，，三角形面积S=，故选A．4．【天津市河西区2022届高三二模】已知分别为的三个内角的对边，A．B．C．D．【答案】C【解析】利用正弦定理将的角化为边可得,由余弦定理可得,则，所以，故选A．5．【广西桂林,百色,梧州,北海,崇左五市2022届高三5月联合】的内角，，的对边分别为，，，已知，，，为锐角，那么角的比值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由正弦定理：，B为锐角，则：，角的比值为，故选B．6．【四川省雅安市2022届高三下学期第三次诊断】若的内角，，所对的边分别为，，，已知，且，则等于15\nA．B．C．D．【答案】C【解析】由，得，得，又，根据余弦定理得，得，故选C．7．【河南省息县第一高级中学2022届高三第七次适应性】已知锐角的外接圆半径为，且，，则（）A．B．6C．5D．【答案】D8．【河南省息县第一高级中学2022届高三下学期第一次适应性】在中，，，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意有，由余弦定理得，由正弦定理得，故选B．9．【2022届湖南省衡阳市高三下学期第二次联考】已知的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是（）A．B．C．D．【答案】B15\n【解析】设三边：，所以：，所以：，三边为：4，5，6，所以，故选B．10．【甘肃省肃南县第一中学2022届高三4月】已知三角形的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为（）A．15B．18C．21D．24【答案】A【解析】不妨设三边分别为，由题设可知边所对角为，则由余弦定理可得，即，解之得（舍去），故三角形的周长为，故选A．11．【福建省泉州市2022届高三（5月）第二次质量检查】在梯形中，,则()A．B．C．D．【答案】B12．【湖南师大附中2022届高三月考试卷（七）】在中，角，，所对的边分别为，，，若，，且为锐角，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】 ,．由余弦定理 ,＝＝,即15\n．,得．由题意知 ，,选B．13．【北京市丰台区2022届高三5月综合练习（二模）】在中，角A，B，C对应的边长分别是a，b，c，且，则角A的大小为________．【答案】【解析】因为，由正弦定理得，显然，所以，．14．【河南省豫南九校2022-2022学年高三下学期第三次联考】在三角形中，内角满足，则__________．【答案】【解析】,,．15．【河北省衡水中学2022届高三下学期第二次摸底】在中，分别为角的对边，，若，则__________．【答案】【解析】由余弦定理可得：，再有正弦定理角化边可得：．16．【吉林省实验中学2022届高三下学期第八次模拟】在中，，，分别是角，，所对的边，若，则__________．15\n【答案】【解析】因为，由正弦定理得，即，，所以，．17．【辽宁省葫芦岛市2022届高三第二次模拟考试（5月）】在中，若，则的最大值是__________．【答案】【解析】，由余弦定理得，，，＝≤＝，即的最大值是．18．【辽宁省鞍山市第一中学2022届高三下学期最后一次模拟】已知的三个内角，，的对边依次为，，，外接圆半径为1，且满足，则面积的最大值为__________．【答案】15\n19．【甘肃省兰州市2022届高三冲刺】已知的内角，，的对边分别为，，，且满足．（1）求角；（2）若,的中线，求面积的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（I）由正弦定理得：，由余弦定理可得，∴（II）由可得：，即，又由余弦定理得，∴，∴．20．【宁夏石嘴山市2022届高三下学期第三次模拟】且（1）求角A的大小；（2）若，D是BC的中点，求AD的长.【答案】（1）（2）15\n21．【重庆市第八中学2022届高三适应性月考卷（八）】已知锐角的三个内角的对边分别为，且．（1）求角；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由余弦定理，可得，所以，所以，又，所以．（2）由正弦定理，，所以，．因为是锐角三角形，所以得，所以，，即．15\n22．【湖南省长沙市雅礼中学2022届高考模拟试卷（二）】如图，在边长为2的正三角形中， 为的中点，分别在边上．（1）若，求的长；（2）若，问：当取何值时，的面积最小？并求出面积的最小值．【答案】（1）（2）时，的面积的最小值为【解析】（1）在中，，由余弦定理得，，得，解得；（2）设，在中，由正弦定理，得，所以，同理，故，因为，所以当时，的最大值为1，此时的面积取到最小值．即时，的面积的最小值为．15
