三角函数式的化简与求值【考纲要求】1．诱导公式：能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式．2．同角三角函数基本关系理解同角三角函数的基本关系式：；．3．和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.【命题规律】三角函数式的化简与求值在客观题中进行考查通常可单独命题进行考查，试题难度中低档为主，小巧灵活，重视转化思想的应用；在解答题中，常常与三角函数的图象和性质结合、与正弦定理和余弦定理结合，以中档题为主，坚持以“能力立意”的命题趋势，主要考查考生的等价变换能力、运算求解能力、逻辑思维能力、转化的思想．预计2022年的高考对三角函数式的化简求值仍将会继续保持稳定，坚持考查在小题中单独命题考查，在大题中与解三角形要结合，命题形式会更加灵活、新颖．【典型高考试题变式】（一）诱导公式的应用例1 【2022四川】=＿＿＿＿＿＿．【答案】13\n【解析】由三角函数的诱导公式得．【方法技巧归纳】有许多三角函数的求值问题都是通过三角函数公式把一般的三角函数求值化为特殊角的三角函数求值而得解，因此必须明确每类诱导公式的功能与作用：诱导公式“”型的作用是把任意角化为之间的同名三角函数值；诱导公式“”型的作用是把负角化为正角的同名三角函数值；诱导公式“”型的作用是把之间角化为之间角的同名三角函数值；诱导公式“”型的作用是把之间角化为之间角同名三角函数值；诱导公式“”的作用是正弦（切）与余弦（弦）之间三角函数名称的变换．【变式1】【例题中的角度改变，函数名不变】（ ）A． B． C． D.【答案】B【解析】由题意可得：，故选B．【变式2】【例题中的角度改变，函数名改变】的值是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】=，故选A.（二）同角三角函数基本关系的应用例2 【2022全国Ⅲ】若，则＿＿＿＿＿＿．A． B． C．1 D．13\n【答案】或【解析】＝＝＝，故选A．【方法技巧归纳】同角三角函数的基本关系的基本功能就是转化功能，利用它可以使函数种类减少，次数降低，项数减少等，从而达到简化运算的目的．常用有五种转化途径：（1）正弦与余弦的互化；（2）、“1”和正弦、余弦平方和的互化，即“”；（3）化正弦、余弦为正切，即；（4）化正切为正弦、余弦，即；（5）正弦、余弦和（差）与积的互化，即．【变式1】【例题中的条件不改变，所求三角函数式改变】若，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以＝＝，故选D．【变式2】【例题中的条件与结论进行交换】已知，则（ ）【答案】13\n（三）倍角公式的应用例3 【2022山东】已知,则（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，选D．【方法技巧归纳】二倍角公式的正用、逆用、变形用是公式的种主要应用手段，特别是二倍角的余弦公式，其变形公式在求值与化简中有广泛的应用，在综合使用两角和与差、二倍角公式化简求值时，要注意以下几点：(1)熟练掌握公式的正用、逆用和变形使用；(2)擅于拆角、配角；(3)注意二倍角的相对性；(4)注意角的范围；(5)熟悉常用的方法和技巧，如切化弦、异名化同名、异角化同角等．掌握二倍角的两个特殊变式：（1）＝；（2）．【变式1】【例题中的函数名称改变，同时强化条件】已知,且为第二象限的角，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为,且为第二象限的角，所以，于是，故选B．13\n【变式2】【例题的条件与结论角改为了倍角与差角】已知，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故选A．（四）两角和与差的公式的应用例4 【2022新课标】已知，，则=__________．【答案】【方法技巧归纳】根据已知单角的三角函数值求和角（或差角）的三角函数，通常将结论角利用条件角来表示，利用同角三角函数基本关系化为相关角的三角函数后，再利用两角和与差的三角函数公式可求解．常见的配角技巧：；；；；，等等．【变式1】【例题条件中的单角变为和角，且减少角的取值范围，结论中三角函数式略有改变】已知，则（ ）13\nA． B． C． D．【答案】B【解析】，解得，故＝＝，故选B．【变式2】【例题中的角和名称改变，条件与结论交换】若，，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，得，所以．结合两角和差正余弦公式有：，故选A．【数学思想】1．方程思想在三角函数的应用主要体现在：（1）通过建立方程（组）求三角函数值或角；（2）通过建立方程（组）求相关的参数．2．转化与化归的思想在三角函数中的应用主要体现在：（1）角的转化，如和角、差角、倍角与单角之间的相互转化；（2）三角函数的名称之间的转化，，主要是利用同角三角函数基本关系与诱导公式来实现．13\n3．分类讨论思想在三角函数中应用主要体现在：（1）遇到同角三角函数的基本关系中的平方关系时，确定三角函数的符号时，可能要涉及到角的象限的讨论；（2）利用诱导公式时，如果遇到含有“”时，可能要考虑分为奇数或偶数进行讨论．【处理三角函数化简与求值问题注意点】1．在运用同角三角函数基本关系化中的平方关系时，必须要注意判断角的范围或角所在的象限；2．熟记三角函数的诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题和使用原则，如果出现的形式时，需要对的值进行分类讨论，以确定三角函数值的符号．3．熟练掌握公式的正用、逆用和变形使用，以及常值代换的应用，和（差）角、倍角、单角之间的转化关系，注意分析角间关系、所求三角函数式与公式间的差异，正确选用相应公式．4．三角函数式化简必须做到五个“尽量”：（1）能求出值的应求出值；（2）使三角函数种数尽量少；（3）使项数尽量少；（4）尽量使分母不含三角函数；（5）尽量使被开方数不含三角函数．【典例试题演练】1．【重庆市巴蜀中学2022届高三第二次诊断】（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】原式等于，故选D．2．【江西省赣州市2022届高三第二次模拟】的值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，故选B．3．【2022届广西玉林市、贵港市高中毕业班质量检测】若，则13\n（ ）A． B．-2 C． D．2【答案】A【解析】由，知，则，故选．4．【山西省孝义市2022届高三下学期高考考前质量检测三（5月）】已有角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知，，∴，故选A．5．【2022届广西陆川县中学高三文上学期二模】若，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】,则原式，故选C．6．【福建省福州第一中学2022届高三5月质检（最后一模）】已知，则的值( )A．2 B． C．3 D．【答案】C【解析】,故选C．13\n7．已知是第一象限角，且，则的值是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为是第一象限角，且，所以，所以，所以，故选B．8．【四川省大教育联盟2022届高中毕业班第三次诊断】已知为锐角，若，则（ ）A． B． C． D．【答案】C9．【2022届淮北市高三第二次模拟】已知满足，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故选A．10．【河南省2022届普通高中高三4月教学质量监测】已知，则13\n=（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故，故．故选B．11．【辽宁省庄河市高级中学2022届高三第四次模拟】已知为第二象限角，，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】C12．【2022届湖南省邵阳市高三下学期第二次联考】若，则实数的值为( )A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，，13\n，，故选A．13．【河北省唐山市2022-2022学年度高三年级第二次模拟】已知，均为锐角，且，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，均为锐角，且，所以＝，即，则＝，故选A．14．【山东省德州市2022届高三下学期4月二模】已知，，且，那么（ ）A． B． C． D．【答案】C15．【重庆市市2022届高三第一次诊断】_______．【答案】【解析】．13\n16．【四川省成都市9校2022届高三第四次联合模拟】已知是第二象限角，且，，则__________．【答案】【解析】由是第二象限角，且，得，所以．17．【湖南省2022届高三普通高等学校招生全国统一考试考前演练卷（三）】计算的值等于__________．【答案】【解析】由知，原式=．18．【江西省鹰潭市2022届高三第二次模拟】化简：__________．【答案】【解析】．19．【甘肃省兰州市2022年高考实战模拟】若，，则__________．【答案】【解析】将已知条件两边平方得，，两式相加化简得．13\n20．已知，则__________．【答案】21．已知角满足，若，则的值为__________．【答案】【解析】由已知，因为，又，所以．13
