专题对点练3 分类讨论思想、转化与化归思想一、选择题1.设函数f(x)=2x-3,x<0,x+1,x≥0,若f(a)>1,则实数a的取值范围是( )A.(0,2)B.(0,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,0)∪(2,+∞)2.函数y=5x-1+10-x的最大值为( )A.9B.12C.26D.3263.在等比数列{an}中,a3=7,前3项的和S3=21,则公比q的值是( )A.1B.-C.1或-D.-1或4.若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+y2m=1的离心率是( )A.32B.5C.32或52D.32或55.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x,则该双曲线的离心率为( )A.B.C.54或53D.35或456.若a>0,且a≠1,p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),则p,q的大小关系是( )A.p=qB.p<qC.p>qD.当a>1时,p>q;当0<a<1时,p<q7.若函数f(x)=x3-tx2+3x在区间[1,4]上单调递减,则实数t的取值范围是( )A.-∞,518B.(-∞,3)C.518,+∞D.[3,+∞)8.(2022安徽黄山一模)已知函数f(x)=e|x|+|x|.若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是( )A.(0,1)B.(1,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,-1)二、填空题9.已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= . 10.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意x∈[a,a+2],f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则实数a的取值范围是 . 11.函数y=x2-2x+2+x2-6x+13的最小值为 . 12.在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两互相垂直,且AB=4,AC=5,则BC的取值范围是 . 三、解答题13.已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}=p,p≤q,q,p>q.(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;(2)①求F(x)的最小值m(a);②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).3\n专题对点练3答案1.B 解析若2a-3>1,解得a>2,与a<0矛盾,若a+1>1,解得a>0,故a的范围是(0,+∞).2.D 解析设a=(5,1),b=(x-1,10-x),∵a·b≤|a|·|b|,∴y=5x-1+10-x≤52+12·x-1+10-x=326.当且仅当5x-1=10-x,即x=25126时等号成立.3.C 解析当公比q=1时,则a1=a2=a3=7,S3=3a1=21,符合要求.当公比q≠1时,则a1q2=7,a1(1-q3)1-q=21,解得q=-(q=1舍去).综上可知,q=1或q=-.4.D 解析因为m是2和8的等比中项,所以m2=2×8=16,所以m=±4.当m=4时,圆锥曲线y24+x2=1是椭圆,其离心率e=ca=32;当m=-4时,圆锥曲线x2-y24=1是双曲线,其离心率e=ca=51=5.综上知,选项D正确.5.C 解析当焦点在x轴上时,ba=34,此时离心率e=ca=54;当焦点在y轴上时,ab=34,此时离心率e=ca=53.故选C.6.C 解析当0<a<1时,可知y=ax和y=logax在其定义域上均为减函数,则a3+1<a2+1,∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即p>q.当a>1时,y=ax和y=logax在其定义域上均为增函数,则a3+1>a2+1,∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即p>q.综上可得p>q.7.C 解析f'(x)=3x2-2tx+3,由于f(x)在区间[1,4]上单调递减,则有f'(x)≤0在[1,4]上恒成立,即3x2-2tx+3≤0,即t≥32x+1x在[1,4]上恒成立,因为y=32x+1x在[1,4]上单调递增,所以t≥324+14=518,故选C.8.B 解析方程f(x)=k化为方程e|x|=k-|x|.令y1=e|x|,y2=k-|x|.y2=k-|x|表示斜率为1或-1的平行折线系.当折线与曲线y=e|x|恰好有一个公共点时,k=1.由图知,关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根时,实数k的取值范围是(1,+∞).故选B.9.- 解析当a>1时,函数f(x)=ax+b在[-1,0]上为增函数,由题意得a-1+b=-1,a0+b=0,无解.当0<a<1时,函数f(x)=ax+b在[-1,0]上为减函数,由题意得a-1+b=0,a0+b=-1,解得a=12,b=-2,所以a+b=-.10.(-∞,-5] 解析因为当x≥0时,f(x)=x2,所以此时函数f(x)在[0,+∞)上单调递增.又因为f(x)是定义在R上的奇函数,且f(0)=0,所以f(x)在R上单调递增.若对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则x+a≥3x+1恒成立,即a≥2x+1恒成立,3\n因为x∈[a,a+2],所以(2x+1)max=2(a+2)+1=2a+5,即a≥2a+5,解得a≤-5.即实数a的取值范围是(-∞,-5].11.13 解析原函数等价于y=(x-1)2+(0-1)2+(x-3)2+(0-2)2,即求x轴上一点到A(1,1),B(3,2)两点距离之和的最小值.将点A(1,1)关于x轴对称,得A'(1,-1),连接A'B交x轴于点P,则线段A'B的值就是所求的最小值,即|A'B|=(1-3)2+(-1-2)2=13.12.(3,41) 解析如图所示,问题等价于长方体中,棱长分别为x,y,z,且x2+y2=16,x2+z2=25,求y2+z2的取值范围,转化为y2+z2=41-2x2,∵x2+y2=16,∴0<x<4,∴41-2x2∈(9,41),即BC的取值范围是(3,41).13.解(1)由于a≥3,则当x≤1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0,当x>1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2,2a].(2)①设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f(1),g(a)},即m(a)=0,3≤a≤2+2,-a2+4a-2,a>2+2.②当0≤x≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2),当2≤x≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.所以,M(a)=34-8a,3≤a<4,2,a≥4.3
