专题突破练21 直线与圆及圆锥曲线1.(节选)已知圆M:x2+y2=r2(r>0)与直线l1:x-y+4=0相切,设点A为圆上一动点,AB⊥x轴于B,且动点N满足=2,设动点N的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)略.2.(2022河北唐山一模,文20)已知椭圆Γ:=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,长轴长为2,B为直线l:x=-3上的动点,M(m,0)(m<0),AM⊥BM.当AB⊥l时,M与F重合.(1)求椭圆Γ的方程;(2)若C为椭圆Γ上一点,满足AC∥BM,∠AMC=60°,求m的值.8\n3.已知圆O:x2+y2=4,点A(,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.4.已知圆M的圆心M在x轴上,半径为1,直线l:y=x-被圆M所截的弦长为,且圆心M在直线l的下方.(1)求圆M的方程;(2)设A(0,t),B(0,t+6)(-5≤t≤-2),若圆M是△ABC的内切圆,求△ABC的面积S的最大值和最小值.8\n5.(2022山西吕梁一模,文20)已知椭圆C:=1(a>b>0)过E1,,且离心率为e=.(1)求椭圆C的方程;(2)过右焦点F的直线l与椭圆交于A,B两点,D点坐标为(4,3),求直线DA,DB的斜率之和.6.(2022河南六市联考一,文20)已知椭圆=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,上顶点为M,若直线MF1的斜率为1,且与椭圆的另一个交点为N,△F2MN的周长为4.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点F1的直线l(直线l的斜率不为1)与椭圆交于P,Q两点,点P在点Q的上方,若,求直线l的斜率.参考答案专题突破练21 直线与圆及圆锥曲线1.解(1)设动点N(x,y),A(x0,y0),因为AB⊥x轴于B,所以B(x0,0).设圆M的方程为M:x2+y2=r2,由题意得r==2,所以圆M的方程为M:x2+y2=4.由题意,=2,所以(0,-y0)=2(x0-x,-y),即8\n将A(x,2y)代入圆M:x2+y2=4,得动点N的轨迹方程为+y2=1.(2)略.2.解(1)依题意得A(0,b),F(-c,0),当AB⊥l时,B(-3,b),由AF⊥BF得kAF·kBF==-1,又b2+c2=6,解得c=2,b=.所以,椭圆Γ的方程为=1.(2)由(1)得A(0,),所以=-,又AM⊥BM,AC∥BM,所以AC⊥BM,△AMC为直角三角形,所以kBM=kAC=-kAM=,所以直线AC的方程为y=x+,y=x+=1联立得(2+3m2)x2+12mx=0,所以xC=,|AM|=,|AC|=(m<0),在Rt△AMC中,由∠AMC=60°得|AC|=|AM|,整理得(m+)2=0,解得m=-.3.解(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,则8\n|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取A关于y轴的对称点A',连接A'B,则|A'B|=2|OM|,故|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4.所以点B的轨迹是以A',A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中a=2,c=,b=1,则曲线Γ的方程为+y2=1.(2)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,则.设B(x0,y0),则x0(x0-)+=0.又=1,解得x0=,y0=±.则kOB=±,kAB=∓,则直线AB的方程为y=±(x-),即x-y-=0或x+y-=0.4.解(1)设圆心M(a,0),由已知得圆心M到直线l:8x-6y-3=0的距离为,∴,又∵圆心M在直线l的下方,∴8a-3>0,∴8a-3=5,a=1.故圆M的方程为(x-1)2+y2=1.(2)由题意设AC的斜率为k1,BC的斜率为k2,则直线AC的方程为y=k1x+t,直线BC的方程为y=k2x+t+6.由方程组得C点的横坐标为x0=.8\n∵|AB|=t+6-t=6,∴S=×6=,由于圆M与AC相切,所以1=,∴k1=;同理,k2=,∴k1-k2=,∴S==61-,∵-5≤t≤-2,∴-2≤t+3≤1,∴-8≤t2+6t+1≤-4,∴Smax=6×1+=,Smin=6×1+=,∴△ABC的面积S的最大值为,最小值为.5.解(1)由已知得=1,,a2=b2+c2,解得a=2,b=,c=1,所以椭圆方程为=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)得F(1,0),设直线l的方程为y=k(x-1)与椭圆联立得消去x得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,所以x1+x2=,x1x2=,8\n所以kDA+kDB===2k+=2k+=2k+=2k+=2.当直线l斜率不存在时,A1,-,B1,,kDA+kDB=2.所以DA,DB的斜率之和为2.6.解(1)∵△F2MN的周长为4,∴4a=4,即a=,由直线MF1的斜率为1,得=1,∵a2=b2+c2,∴b=1,c=1,∴椭圆的标准方程为+y2=1.(2)由题意可得直线MF1方程为y=x+1,联立解得N-,-,∴,8\n∵,即|NF1||QF1|sin∠QF1N=|MF1|·|PF1|sin∠PF1M,∴|QF1|=2|PF1|,当直线l的斜率为0时,不符合题意,故设直线l的方程为x=my-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),由点P在点Q的上方,则y2=-2y1,联立所以(m2+2)y2-2my-1=0,所以y1+y2=,y1y2=,消去y2得所以.解得m2=,则m=±,又由画图可知m=不符合题意,所以m=-,故直线l的斜率为=-.8
