专题突破练21 圆锥曲线的定义、方程与性质一、单项选择题1.(2021·湖北华中师大一附中月考)已知抛物线y=mx2(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为,则m的值为( ) A.1B.2C.D.2.(2021·四川成都七中月考)双曲线=1(a,b>0)的一条渐近线方程为x-2y=0,则其离心率为( )A.B.C.D.3.(2021·新高考Ⅰ,5)已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为( )A.13B.12C.9D.64.(2021·贵州贵阳期末)过抛物线y2=4x的焦点的直线与抛物线交于A,B两点,若AB的中点的纵坐标为2,则|AB|等于( )A.4B.6C.8D.105.(2021·广东佛山二模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率等于2,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,A为双曲线的右顶点,P在双曲线的渐近线上且PF1⊥PF2,若△PAF1的面积为3a,则双曲线的虚轴长等于( )A.B.2C.2D.4二、多项选择题6.(2021·江苏南通适应性联考)已知Rt△ABC中有一个内角为,如果双曲线E以A,B为焦点,并经过点C,则该双曲线的离心率可能是( )A.+1B.2C.D.2+7.(2021·广东佛山模拟)已知双曲线C:9x2-16y2=144的左、右焦点分别为F1,F2,点P为C上的一点,且|PF1|=6,则下列说法正确的是( )A.双曲线的离心率为B.双曲线的渐近线方程为3x±4y=0C.△PF1F2的周长为30D.点P在椭圆=1上8.(2021·湖南衡阳高三一模)已知抛物线C:x2=2py(p>0),过其准线上的点T(1,-1)作C的两条切线,切点分别为A,B,下列说法正确的是( )A.p=1B.TA⊥TBC.直线AB的斜率为D.线段AB中点的横坐标为19.(2021·山东青岛三模)已知曲线C:=1,F1,F2分别为曲线C的左、右焦点,则下列说法正确的是( )A.若m=-3,则曲线C的两条渐近线所成的锐角为B.若曲线C的离心率e=2,则m=-27C.若m=3,则曲线C上不存在点P,使得∠F1PF2=D.若m=3,P为C上一个动点,则△PF1F2面积的最大值为3三、填空题10.(2021·江苏南通一模)已知抛物线C:y=x2上的点M到焦点的距离为5,则点M到y轴的距离为 . 11.(2021·湖南永州高三二模)已知O为坐标原点,双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,从双曲线
C的右焦点F引渐近线的垂线,垂足为A,若△AFO的面积为,则双曲线C的方程为 . 12.(2021·湖南怀化模拟)已知椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过坐标原点的直线交E于P,Q两点,且PF2⊥F2Q,且a2,|PF2|+|F2Q|=4,则E的标准方程为 . 13.(2021·湖南岳阳高三一模)设椭圆=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,P是椭圆上一点,且∠F1PF2=,若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R,r,当R=4r时,椭圆的离心率为 . 14.(2021·福建厦门外国语学校月考)点P在椭圆C1:=1上,C1的右焦点为F,点Q在圆C2:x2+y2+6x-8y+21=0上,则|PQ|-|PF|的最小值为 . 专题突破练21 圆锥曲线的定义、方程与性质1.B 解析:由题意,知抛物线y=mx2(m>0)的准线方程为y=-,根据抛物线的定义,可得点(x0,2)到焦点F的距离等于到准线y=-的距离,可得2+,解得m=2.2.D 解析:因为=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x-2y=0,所以故,解得,所以e=3.C 解析:由题意知|MF1|+|MF2|=2a=6,则=3,则|MF1|·|MF2|≤9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立.故|MF1|·|MF2|的最大值为9.4.C 解析:抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),准线方程l:x=-1.设AB的中点为M,过A,B,M作准线l的垂线,垂足分别为C,D,N,则MN为梯形ABDC的中位线,|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|MN|=2(x0+1).直线AB过抛物线的焦点F,显然直线AB的斜率存在且不为0,可设直线AB的方程为x=my+1(m为常数),代入抛物线的方程,消去x并整理,得y2-4my-4=0.设A,B的纵坐标分别为y1,y2,线段AB的中点M(x0,y0),则y0==2m=2,解得m=1.直线AB的方程为x=y+1,x0=y0+1=2+1=3,|AB|=2×(3+1)=8.5.D 解析:如图,双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率等于2,e==2,①
设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,双曲线在第一、三象限的渐近线的斜率为,②A为双曲线的右顶点,P在双曲线的渐近线上,且PF1⊥PF2,所以P(a,b),△PAF1的面积为3a,可得(a+c)·b=3a,③解①②③,可得b=2,所以C的虚轴长等于4.6.ACD 解析:当∠C=时,e=;当∠B=时,e=+1;当∠A=时,e=+2.7.BCD 解析:双曲线的标准方程为=1,a=4,b=3,则c=5,离心率e=,A错误;渐近线方程为=0,即3x±4y=0,B正确;|PF1|=6<2a=8,P在左支上,|PF2|=6+8=14,△PF1F2的周长为30,C正确;|PF1|+|PF2|=20,因此P在椭圆=1(此椭圆是以F1,F2为焦点,长轴长为20的椭圆)上,D正确.8.BCD 解析:易知抛物线的准线方程为y=-1,∴p=2,C:x2=4y,故选项A不正确;设过点T的直线方程为y+1=k(x-1),即y=kx-k-1,代入y=,得-kx+k+1=0,当直线y=kx-k-1与C相切时,有Δ=0,即k2-k-1=0,设TA,TB的斜率分别为k1,k2,易知k1,k2是方程k2-k-1=0的两个根,因为k1k2=-1,所以TA⊥TB,故选项B正确;设A(x1,y1),B(x2,y2),其中y1=,y2=,又y'=,则TA:y-(x-x1),即y=x-y1,代入点(1,-1),得x1-2y1+2=0,同理可得x2-2y2+2=0,所以AB:x-2y+2=0,kAB=,故选项C正确;由kAB=,得=1,即AB中点的横坐标为1,故选项D正确.9.ABD 解析:对于A选项,当m=-3时,曲线C:=1表示焦点在x轴上的双曲线,渐近线方程为y=±x,故渐近线的倾斜角分别为,所以曲线C的两条渐近线所成的锐角为,故A选项正确;对于B选项,离心率e=2,则曲线C为焦点在x轴上的双曲线,a=3,e=2,故c=6,所以-m=c2-a2=36-9=27,所以m=-27,故B选项正确;对于C选项,若m=3,则曲线C:=1表示焦点在x轴上的椭圆,此时a2=9,b2=3,c2=6.设椭圆C的短轴的一个顶点坐标为M(0,),则cos∠F1MF2==-<0,故∠F1MF2为钝角,所以曲线C上存在点P,使得∠F1PF2=,故C选项错误;对于D选项,若m=3,则曲线C:=1表示焦点在x轴上的椭圆,此时a2=9,b2=3,c2=6,P为C上一个动点,则△PF1F2面积的最大值为Smax=2c×b=2=3,故D选项正确.10.2 解析:抛物线C的方程可化为x2=8y.设M(x0,y0),因为点M到焦点的距离为5,所以点M到准线y=-2的距离为5,从而y0=3.将y0=3代入x2=8y,可得|x0|=2,所以点M到y轴的距离为211=1 解析:
如图所示,双曲线的一条渐近线OA的方程为bx-ay=0,则|AF|==b,所以|OA|=a.所以S△AFO=ab=,ab=2①又e=,②c2=a2+b2,③所以由①②③得a=,b=2,故双曲线方程为=1.12=1 解析:如图所示,连接PF1,QF1,因为OP=OQ,OF1=OF2,所以四边形PF1QF2是平行四边形,所以PF1=QF2,PF2=QF1,又因为PF2⊥F2Q,所以平行四边形PF1QF2是矩形.设PF1=m,PF2=n,由题意得解得则b2=a2-c2=2,故E的标准方程为=1.13 解析:椭圆的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),|F1F2|=2c,在△F1PF2中,由正弦定理得2R=c,解得R=c,r=R=c.设|PF1|=m,|PF2|=n,在△F1PF2中,由余弦定理得4c2=m2+n2-2mncos=(m+n)2-3mn,解得mn=,所以mnsin,又(m+n+2c)r=,所以,又a+c>0,整理得a=c,即e=14.2-6 解析:记椭圆C1:=1的左焦点为E(-1,0),由椭圆的定义可得,|PE|+|PF|=2a=4,所以|PQ|-|PF|=|PQ|+|PE|-4.由x2+y2+6x-8y+21=0,得(x+3)2+(y-4)2=4,即圆C2的圆心为(-3,4),半径为r=2,作出图形如下:由圆的性质可得,|PQ|≥|PC2|-r=|PC2|-2,|PQ|-|PF|=|PQ|+|PE|-4≥|PC2|+|PE|-6≥|EC2|-6=-6=2-6(当且仅当C2,Q,P,E四点共线时,等号成立).
