2022年普通高等学校招生全国统一考试数学（天津卷）2022．06．一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出，再根据交集的定义可求.【详解】，故，故选：A.2.“为整数”是“为整数”的（）A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不允分也不必要【答案】A【解析】【分析】依据充分不必要条件的定义去判定“为整数”与“为整数”的逻辑关系即可.【详解】由题意，若为整数，则为整数，故充分性成立；当时，为整数，但不为整数，故必要性不成立；所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件.故选：A.3.函数的图像为（）\nA.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，且，函数为奇函数，A选项错误；又当时，，C选项错误；当时，函数单调递增，故B选项错误；故选：D4.为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编\n号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A.8B.12C.16D.18【答案】B【解析】【分析】结合已知条件和频率分布直方图求出志愿者的总人数，进而求出第三组的总人数，从而可以求得结果.【详解】志愿者的总人数为＝50，所以第三组人数为50×0.36＝18，有疗效的人数为18－6＝12．故选：B.5.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.【详解】因为，故.故答案为：C.6.化简的值为（）A.1B.2C.4D.6\n【答案】B【解析】【分析】根据对数的性质可求代数式的值.【详解】原式，故选：B7.已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，因为且，则为等腰直角三角形，且，即，可得，\n所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.故选：C.8.如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A.23B.24C.26D.27【答案】D【解析】【分析】作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.【详解】该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，如图，因为，所以，因为重叠后的底面为正方形，所以,在直棱柱中，平面BHC，则,由可得平面，设重叠后的EG与交点为\n则则该几何体的体积为.故选：D.9.已知，关于该函数有下列四个说法：①的最小正周期为；②在上单调递增；③当时，的取值范围为；④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．【详解】因为，所以最小正周期为，①不正确；\n令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．故选：A．第II卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.已知是虚数单位，化简的结果为_______．【答案】##【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出．【详解】．故答案为：．11.的展开式中的常数项为______.【答案】【解析】【分析】由题意结合二项式定理可得的展开式的通项为，令\n，代入即可得解.【详解】由题意的展开式的通项为，令即，则，所以展开式中的常数项为.故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.12.若直线与圆相交所得的弦长为，则_____．【答案】【解析】【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线距离为，由勾股定理可得，因为，解得.故答案为：.13.52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为____________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为____________【答案】①.②.【解析】【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A的条件下，第二次抽到A的概率.【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,\n则.故答案为：；.14.在中，，D是AC中点，，试用表示为___________，若，则的最大值为____________【答案】①.②.【解析】【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，当且仅当与相切时，最大，即求出．【详解】方法一：，，，当且仅当时取等号，而，所以．\n故答案为：；．方法二：如图所示，建立坐标系：，，，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．故答案为：；．15.设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.【详解】设，，由可得.要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，解得或.\n①当时，，作出函数、的图象如下图所示：此时函数只有两个零点，不合乎题意；②当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，所以，，解得；③当时，，作出函数、的图象如下图所示：由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；④当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，可得，解得，此时.\n综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出；（2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出；（3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出．【小问1详解】因为，即，而，代入得，解得：．【小问2详解】\n由（1）可求出，而，所以，又，所以．【小问3详解】因为，所以，故，又，所以，，而，所以，故．17.直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面所成二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）（3）\n【解析】【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；（2）利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值；（3）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.【小问1详解】证明：在直三棱柱中，平面，且，则以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、、、，则，易知平面的一个法向量为，则，故，平面，故平面.【小问2详解】解：，，，设平面的法向量为，则，\n取，可得，.因此，直线与平面夹角的正弦值为.【小问3详解】解：，，设平面的法向量为，则，取，可得，则，因此，平面与平面夹角的余弦值为.18.设是等差数列，是等比数列，且．（1）求与的通项公式；（2）设的前n项和为，求证：；（3）求．【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；（3）先求得，进而由并项求和可得，再结合错位相减法可得解.【小问1详解】设公差为d，公比为，则，\n由可得（舍去），所以；【小问2详解】证明：因为所以要证，即证，即证，即证，而显然成立，所以；【小问3详解】因为，所以，设所以，则，作差得，所以，所以.\n19.椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．（1）求椭圆的离心率；（2）直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，由可得出，求出点的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得的值，即可得出椭圆的方程.【小问1详解】解：，离心率为.【小问2详解】解：由（1）可知椭圆的方程为，易知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立得，由，①\n，，由可得，②由可得，③联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为．20.已知，函数（1）求函数在处的切线方程；（2）若和有公共点，（i）当时，求的取值范围；（ii）求证：．【答案】（1）（2）（i）；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）求出可求切线方程；（2）（i）当时，曲线和有公共点即为在上有零点，求导后分类讨论结合零点存在定理可求.（ii）曲线和有公共点即，利用点到直线的距离得到，利用导数可证，从而可得不等式成立.【小问1详解】，故，而，曲线在点处的切线方程为即.【小问2详解】\n（i）当时，因为曲线和有公共点，故有解，设，故，故在上有解，设，故在上有零点，而，若，则恒成立，此时在上无零点，若，则在上恒成立，故在上为增函数，而，，故在上无零点，故，设，则，故在上为增函数，而，，故上存在唯一零点，且时，；时，；故时，；时，；所以在上为减函数，在上为增函数，故，因为在上有零点，故，故，而，故即，设，则，故在上为增函数，而，故.\n（ii）因为曲线和有公共点，所以有解，其中，若，则，该式不成立，故.故，考虑直线，表示原点与直线上的动点之间的距离，故，所以，下证：对任意，总有，证明：当时，有，故成立.当时，即证，设，则（不恒为零），故在上为减函数，故即成立.综上，成立.下证：当时，恒成立，，则，故在上为增函数，故即恒成立.下证：在上恒成立，即证：，即证：，即证：，而，故成立.故，即成立.【点睛】\n思路点睛：导数背景下零点问题，注意利用函数的单调性结合零点存在定理来处理，而多变量的不等式的成立问题，注意从几何意义取构建不等式关系，再利用分析法来证明目标不等式.
