教学基本信息课题垂线的概念与性质学科数学学段：第三学段年级七年级教材书名：数学七年级下册出版社：人民教育出版社出版日期：2012年10月教学设计参与人员姓名单位设计者叶庆华北京工业大学附属中学实施者叶庆华北京工业大学附属中学指导者曹自由北京市朝阳区教育研究中心课件制作者叶庆华北京工业大学附属中学教学目标及教学重点、难点本节课的内容是垂线的概念和性质．垂线有两个性质，第一个性质是垂线的存在性和唯一性，这是垂线作图的保证，第二个性质是“垂线段最短”．在教学过程中通过垂线性质的探究，发展学生空间观念，体现几何直观．课堂中将通过三道例题帮助学生完成学习任务．教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入今天我们继续来学习相交线中的有关内容：垂线的概念与性质．通过上节课的学习我们知道，“相交”是两条直线的位置关系，体现在两条直线相交所成的四个角的位置关系（即四对邻补角、两对对顶角），数量关系（即邻补角互补、对顶角相等）．所以根据这些性质，在复习旧知，引入新知9
两条直线相交所成的四个角中知道其中一个角的度数，我们就可以求其余三个角的度数，从而进行几何中角的有关计算．请同学们想一想：这些知识我们是如何研究的呢？我们从“实际问题——定义——性质——应用”这一路径进行研究解决问题的．对于一个数学对象，在研究了它的一般情形后，往往要看看是否存在值得研究的特殊情形．相交线中，你认为什么情况是特殊的？这个特殊情形又该怎样研究呢？这节课我们就来继续探究相关知识．新课一、垂线的概念1．情景引入：取两根木条a，b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b．（1）如图，两根木条所成的角中，如果∠α=35°，其他三个角各等于多少度？（2）如果∠α等于m°，其他三个角各等于多少度？在木条转动过程中，我们发现有一个位置是特殊的，也就是当∠α=90°时．同学们可以想一想，为什么我们说此时是一个特殊位置？一方面，当∠α=90°时，其他三个角也都等于90°，也就是这时四个角是相等的；另一方面，这种情况会出现几次呢？我们可以看出，木条b在0到180度的旋转过程中，这种情况只出现一次．而其他情况，比如四个角中有一个角是35°的情况，都会出现两次，如图所示．所以，我们把这种特殊情况称为a与b互相垂直，也就是当∠α=90°时,a与b互相垂直．记作a⊥b．即垂直是相交的一种特殊情形．追问：（1）对于两条直线互相垂直，你认为应研究哪些内容？按怎样的路径展开研究？（2）在两条直线相交的基础上，你认为应如何定义垂直？问题（1）复习巩固邻补角互补,对顶角相等的性质的运用．利用相交线的模型作演示，让学生注意观察，转动木条b时，它和木条a互相垂直的位置有几个？从而体会垂直是相交中特殊情形，认识垂线的唯一性．9
2．垂直的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如图1,直线a,b互相垂直,点O叫做垂足．直线a叫做直线b的垂线，直线b也叫做直线a的垂线．如图2，直线AB、CD互相垂直,垂足为O．就是AB⊥CD或CD⊥AB，垂足为O．读作：AB垂直于CD，垂足为O．如图2，直线AB与CD相交于点O．如果∠AOC=90°，那么AB⊥CD．这个推理过程可以写成下面的形式：因为∠AOC=90°，所以AB⊥CD（垂直的定义）．反过来，若AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°．推理过程就是：因为AB⊥CD，所以∠AOC=90°（垂直的定义）．二、垂线的性质探究探究1：（1）用三角尺或量角器画已知直线的垂线，这样的垂线能画几条？（2）经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条?（3）经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条?用图形语言和符号语言表示垂直．通过三种语言描述垂直,体会从不同视角认识垂直．两条直线相交形成的角中，无论哪一个角是直角，都可以判断两条直线互相垂直，反过来，两条直线互相垂直，它们的四个交角都是直角．9
结论：经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线．即在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．思考1：过一点画线段、射线的垂线，应如何画呢？如图,请你过点P画出线段AB或射线AB的垂线过一点作线段的垂线，垂足可以在线段上，也可以在线段的延长线上．所以大家在画图时要注意：画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线．思考2：如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？此问题就是“直线外一点与已知直线上各点所连的线段中,哪条线段最短?”探究2：如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，A1，A2，A3，…，其中，PO⊥l，这里PO为点P到直线l的垂线段．比较线段PO，PA1，PA2，PA3，…的长短，这些线段中，哪一条最短？在小学知识的基础上，通过画图、观察、思考等活动，得到“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这一基本事实．通过动手操作,体会垂线的存在性与唯一性,加深对这一基本事实的认识．通过现实生活中实例,进一步体会这一基本事实,从而发展空间想象能力、推理能力和抽象能力．结合图形,进一步明确两条线段垂直、两条射线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直、射线与直线垂直都是指它们所在的直线垂直．9
结论：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．如图，PO⊥l于点O，垂线段PO的长度叫做点P到直线l的距离．这里距离是指线段的长度，是一个数量概念．问题解决：现在你知道水渠该怎么挖了吗？过点P作河道所在直线的垂线段PQ，则沿着线段PQ挖出的水渠道最短．举例应用：体育课上测量跳远成绩．通过动手操作、结合生活中的实例以及图形理解“点到直线的距离”的意义，认识垂线段与点到直线的距离的区别与联系．掌握度量点到直线的距离的方法，并能正确度量点到直线的距离,从而发展空间想象能力．通过画图、测量、比较发现“垂线段最短”的性质．通过生活中的例子,体会这一性质的应用，从而发展空间想象能力、推理能力和抽象能力．例题例1如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠AOC=55°，求∠EOD的度数．解：因为OE⊥AB，综合运用对顶角、邻补角以及垂直的概念进行几何计算．9
所以∠EOB=90°．(垂直的定义)因为∠BOD=∠AOC=55°，（对顶角相等）所以∠EOD=∠EOB+BOD=90+55°=145°．例2如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC．试判断射线OD与射线OE的位置关系．解：OD⊥OE，理由如下：因为点A，O，B在同一条直线上，所以∠AOB=180°．因为OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，即∠DOE=90°．所以OD⊥OE．例3如图,三角形ABC中，∠C=90°．（1）点A到直线BC的距离是线段的长；点B到直线AC的距离是线段的长．（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则线段AC，BC，CD中最短的是 ，理加深对垂直的判定的理解．在综合图形中进一步理解点到直线的距离的概念，增强识图的能力．9
由是．分析：（1）根据点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，由∠C=90°，得到AC⊥BC，则点A到直线BC的距离是线段AC的长；点B到直线AC的距离是线段BC的长．（2）先根据题目要求，画出图形．由CD⊥AB，可知线段CD是点C到直线AB的垂线段，根据“垂线段最短”，线段AC，BC，CD中最短的是线段CD．进一步体会“垂线段最段”的性质．总结梳理本节课所研究的内容．总结主要内容，加深对相交线有关知识的理解．作业作业1（1）找出图中互相垂直的线段，并用三角尺检验．（2）如图，画AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E，F．考查学生对直角大小的估计能力．9
（3）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC=35°，求∠AOD的度数．（4）如图，用量角器画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，比较点P到OA，OB的距离大小．作业2 请你谈一谈这节课的个人学习感想．在运用相关知识解决问题中需要注意的关键之处是什么？请你为本节课的知识点画一个结构图．巩固过一点画已知直线的垂线，并涉及到延长线段的情况．综合运用对顶角、邻补角及垂直的概念进行几何计算．复习巩固点到直线的距离的概念，学生会发现这两个距离是相等的，为后面学习角平分线的性质做准备．9
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