教学基本信息课题正方形（第二课时）学科数学学段：第三学段年级八年级教材书名：数学八年级下册出版社：人民教育出版社出版日期：2013年9月教学目标及教学重点、难点本节课是在学生独立回顾正方形相关知识的基础上，建立正方形与特殊三角形之间的内在联系，从整体上认识正方形的特征.通过正方形的性质及相关问题的解决，发展学生的合情推理和抽象概括能力，提升学生应用数学的意识和能力.本节课将通过三道例题帮助学生完成学习任务.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入在上节课，我们学习了正方形的定义，又从边、角、对角线三个角度，类比矩形、菱形的性质，研究了正方形的性质.还学习了正方形的判定方法.我们进一步感受了从一般到特殊的研究方法.正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，还是更为特殊的平行四边形.本节课，我们会进一步研究正方形.回顾以往学习知识及经验.新课如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.图中共有多少个等腰直角三角形？一共有8个等腰直角三角形.△AOB≌△BOC≌△COD≌△DOA；△ABC≌△BCD≌△CDA≌△DAB.挖掘正方形的隐含条件，加深对正方形的认识.6
对比正方形和一般的平行四边形，平行四边形只是被对角线分成了4对全等的三角形.正方形中不止隐含着刚才分析的全等三角形，还能够被对角线分出更为特殊的几何图形——等腰直角三角形，这样就有特殊的角度45°.除正方形本身的四条边都相等，对角线相等并且互相垂直平分以外，这里还隐含着直角三角形斜边上的中线,与我们以前学过的很多知识产生了联系，为我们解决正方形相关的问题开拓了思路.我们要利用好正方形与三角形的相互转化.例题例如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在AB，AD上，且BE＝AF，BF与CE相交于点G.CE与BF相等吗？它们有什么位置关系？为什么？分析：四边形ABCD是正方形△BCE≌△ABFCE与BF的关系解：CE=BF，CE⊥BF.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠A＝90°，BC＝AB.∵BE＝AF，通过例题，体会将正方形转化为三角形的过程，应用正方形的性质解决问题.6
∴△BCE≌△ABF.∴CE＝BF，∠1＝∠2.∵∠1+∠3＝90°，∴∠2+∠3＝90°.∴∠BGC＝90°.∴CE⊥BF.反思：通过对正方形隐含条件的挖掘，得到了全等三角形，根据全等三角形的性质，得到对应边相等对应角相等.在本题中，如果在正方形的一组邻边上，有一组相等的线段BE＝AF，那么我们就可以发现正方形的内部也有这样的两条线段CE与BF满足相等且垂直的关系.这两条线段关系的结论在很多问题中，还可以进一步去拓展和应用.变式1如图，四边形ABCD是正方形，点E，M，N分别在AB，BC，AD上，CE⊥MN于点G.求证:CE＝MN.分析：利用正方形的性质，得到全等三角形，从而证明两条线段相等.反思：本题中，在正方形的内部，当CE与MN满足了垂直关系时，我们还能得到它们是相等的.在学习变式的过程中，又给了我们不同的添加辅助线的方法.变式2如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB上，点H在AD的延长线上，CE⊥CH于点C.求证:CE＝CH.分析：6
利用正方形的性质，得到全等三角形，从而证明两条线段相等.反思：本题中，在正方形的外部，当CE与CH满足了垂直关系时，我们也能得到它们是相等的.例如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，2).求B，C两点的坐标.分析：题目中需要求的是B，C两点的坐标，具体的做法是：从这两个点向x轴和y轴分别作垂线，分别求出这两点到坐标轴的距离.还要根据点所在的象限，确定符号.解：∵四边形OBCD是正方形，∴CB⊥x轴，CD⊥y轴，OB＝OD.∵点D的坐标是(0，2)，∴OD＝2.∴OB＝OD＝2.∴点B的坐标是(2，0).∵点C在第一象限，∴点C的坐标是(2，2).反思：将正方形放到了平面直角坐标系中.从正方形的四条边都相等、四个角都是直角等性质出发，结合坐标系中点的坐标的含义，运用正方形的性质，求出正方形顶点的坐标.同时，还要注意，我们在几何中求出的是线段的长度，在平面直角坐标系中，求点的坐标的时候，还要关注点所在的象限.例如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，BE与对角线AC交于点P，连接DP.求DP+EP的值.分析：利用正方形的对称性，让其中第一条线段转化为BP，而BP与所求线段PE通过例题，体会正方形在平面直角坐标系中的应用，渗透数形结合思想.通过例题，感受正方形轴对称性的简洁性.6
就共线了，它们的和是线段BE.再通过正方形的性质和等腰三角形的定义就可以得到DP与EP的和.解：∵AC是正方形ABCD的对角线，∴BP＝DP.∴DP+EP＝BP+EP＝BE.∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB.∵正方形ABCD的面积为16，∴AB＝4.∴DP+EP＝BE＝4.反思：应用正方形的轴对称性，得到了线段间的数量关系，进一步挖掘了正方形的隐含条件.通过这道例题，我们也感受到了正方形的轴对称性的简洁和实用.总结本节课，我们进一步研究了正方形.由于它既是平行四边形，又是矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.当判定一个四边形是正方形时，我们还要从它是矩形或者菱形的角度，添加条件去判定它是正方形.对本节课所学知识梳理提升.6
正方形是一种特殊的图形，它除了四条边都相等，四个角都相等以外，当我们连接对角线时，可以发现更为特殊的三角形——等腰直角三角形，它还隐含着特殊的角度45°，还可以与勾股定理，直角三角形斜边上的中线等知识相结合，为我们后续证明或者计算线段以及角有关的问题，提供了更多的角度.作业1.如图，四边形ABCD是正方形.G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.求证：AF-BF＝EF.2.如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AE＝EF.巩固课堂学习内容.6
