2021年普通高等学校招生全国统一考试数学（预测卷一）一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。1.设集合，集合，则=（）A.B.C.D.2.若复数满足，则下列说法正确的是（ ）A.的虚部为B.为实数C.D.3.2020年4月20日重庆市高三年级迎来了疫情后的开学工作，某校当天为做好疫情防护工作，安排甲、乙、丙、丁四名老师在校门口的三个点为到校学生进行检测及其它相关的服务工作，要求每个点至少安排一位老师，且每位老师恰好选择其中一个点，记不同的安排方法数为，则满足不等式的最小正整数的值为（）A.36B.42 C.48D.544.《九章算术（卷第五）•商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”．译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为（ ）（注：1丈=10尺．）A.45000立方尺B.52000立方尺C.63000立方尺D.72000立方尺5.2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A=“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B=“小组甲独自去一个国家”，则（ ）,A.B.C.D.6.习近平总书记亲自谋划和推动全民健身事业，把全民健身作为全面建成小康社会的重要组成部分，人民的获得感、幸福感、安全感都离不开健康．为响应习总书记的号召，某村准备将一块边长为2km的正三角形空地（记为△ABC）规划为公园，并用一条垂直于BC边的小路（宽度不计）把空地分为两部分，一部分以绿化为主，一部分以休闲健身为主．如图，轴，小路记为直线，小路右侧为健身休闲区，其面积记为，则函数的图像大致为（）A.B.C.D.7.已知是圆的直径，为直线上任意点．则的最小值为（）A.B.C.4D.88.若函数，若有两个零点，则的取值范围为（）A.B.C.D.二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9.已知分别是双曲线的左、右焦点，点,是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是（）A.双曲线的渐近线方程为B.以为直径的圆的方程为C.到双曲线的一条渐近线的距离为1D.的面积为110.已知函数，给出下列四个结论，其中正确的结论是（）A.函数的最小正周期是B.函数在区间上是减函数C.函数的图象关于直线对称D.函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到11.设正项等差数列满足，则（）A.的最大值为10B.的最大值为C.的最大值为D.的最小值为20012.下列命题中，正确的命题的是（）A.已知随机变量服从二项分布，若，，则B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C.设随机变量服从正态分布，若，则D.某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.直线与圆交于两点，为圆心，若，则=.14.在△ABC中，角的对边成等差数列，且，则＝.15.如图，在三棱锥中，点E在BD上，EA＝EB＝EC＝ED，，△,ACD为正三角形，点M，N分别在AE，CD上运动（不含端点），且AM＝CN，则当四面体的体积取得最大值时，三棱锥的外接球的表面积为．16.斜线OA与平面成15°角，斜足为O，为A在内的射影，B为OA的中点，是内过点O的动直线．若上存在点使，则的最大值是，此时二面角A-P1P2-A′的平面角的正弦值是．四、解答题。本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤等。17.（10分）已知，且有意义.（1）试判断角所在的象限；（2）若角的终边上一点，且（O为坐标原点），求的值及的值.18.（12分）已知命题，使。不等式的解集为N，不等式的解集为Q. （1）若P为真命题，求实数m的取值集合M；（2）若是的必要条件,求实数a的取值范围．19.我市今年参加高考的考生是首次取消文理科后的新高考考生，新高考实行“3+2+1”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成。为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年），并把调查结果制成下表：年龄（岁）频数515101055,了解4126521（1）请根据上表完成下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？了解新高考不了解新高考总计中青年中老年总计附：.0.0500.0100.0013.8416.63510.828（2）现采用分层抽样的方法从中老年人中抽取8人，再从这8人中随机抽取2人进行深入调查，求事件A：“恰有一人年龄在”发生的概率.20.（12分）如图所示，在正方体中，．（1）求证：；（2）求证：平面⊥平面；（3）用一张正方形的纸把正方体完全包住，不将纸撕开，求所需纸的最小面积．（结果不要求证明）21.（12分）已知函数，．,（1）求证：有两个不同的实数解；（2）若在时恒成立，求整数m的最大值．22.（12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与相切．（1）求a与b；（2）设该椭圆的左、右焦点分别为和，直线过且与轴垂直，动直线与轴垂直，交与点．求线段垂直平分线与的交点M的轨迹方程，并说明曲线类型．,1.A2.C3.A4.B5.A6.C7.C8.A9.ACD10.BC11.ABD12.BCD13.14.15.3216.2，17.解：(1)由=-,得<0,由()有意义,可知>0,所以是第四象限角.(2)因为|OM|=1,所以+=1,解得m=.又为第四象限角,故m<0,从而m=-,====-.18.解： （1）“,使得”为真命题,方程在上有解,即m的的取值范围就是函数在上的值域,由于,.若的必要条件, ,集合Q=[-1,2）,当时,,;,当时,解集N为空集,不满足题意,舍去；当时,,.综上.19.解：（1）依题意，列联表如图所示，了解新高考不了解新高考总计中青年22830老年81220总计302050的观测值，所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联. （2）由表格数据得到抽取的8人中： 年龄在中的有4人，年龄在中的有2人，年龄在中的有2人. 从8人中抽取2人的方法有=28种，其中恰有一人年龄在被抽中的方法有=16种. 所以. 20.解：（1）证明：连结AC，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵AA1⊥平面ABCD，∴BD⊥AA1，∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面A1AC，∵A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥A1C．（2）证明：∵侧面BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C，∵A1B1⊥平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，∵A1B1∩B1C=B1，∴BC1⊥平面A1B1C，∵BC1⊂平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面A1B1C；（3）用一张正方形的纸把正方体ABCD-A1B1C1D1完全包住，不将纸撕开，所需纸的最小面积为8．21.解：（1）证明：由f（x）=g（x）得x-lnx-2=0，令h（x）=x-lnx-2，则，当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．所以h（x）的最小值为h（1）=-1＜0，而当x→0时，h（x）→+∞，当x→+∞时，h（x）→+∞，故f（x）=g（x）有两个不同的实数解．,（2）g（x）＞[m-g（x）]f（x）在x＞1时恒成立，即xlnx+x＞m（x-1）在x＞1时恒成立，所以在x＞1时恒成立，设，则，由（Ⅰ）m'（x）=0有唯一零点x0＞1，即x0-lnx0-2=0，又h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，所以x0∈（3，4），且当x∈（1，x0）时，m'（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，m'（x）＜0，所以，由题意，得m＜x0，且x0∈（3，4），因此整数m的最大值为3．22.解：（1）e=，∴=，又b==，∴a=，b=．（2）由（1）知F1，F2分别为（-1，0），（1，0），由题意可设P（1，t），（t≠0）那么线段PF1中点为N（0，），设M（x，y）是所求轨迹上的任意点，由=（-x，-y），=（-2，-t）则，消t得y2=-4x（x≠0）其轨迹为抛物线除原点的部分．
