2020-2021学年上海市某校高三（上）期中考试数学试卷一、选择题)1.已知，都是实数，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.等差数列中，已知，，，则的值为（）A.B.C.D.3.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是()A.tanB.C.D.lg4.如图，圆的半径为，是圆上的定点，是圆上的动点、角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则在区间上的图象大致为()A.B.C.D.二、填空题)5.lim________.6.若函数sin的最小正周期为，则实数________.7.已知ሺݔሺt则，ݔሺtݔ________．8.方程lgሺtݔlg的解________．试卷第1页，总7页,9.已知cost，ሺݔ，则sin________．10.方程sincos，在ݔ上的解集为________．11.若正项等比数列满足：，则的最大值为________．12.已知函数是定义在R上的奇函数，在区间ሺݔ上单调递减，且，则不等式的解集为________.13.函数ሺݔttln在定义域内的零点的个数为________．14.已知香䁨的外接圆半径为，且ሺsintsin䁨ݔሺtݔsin香（其中，分别是，香的对边），那么䁨的大小为________．15.把数列的所有项按照从小到大的原则写成如图所示的数表：其中，t，且第行有t个数，第行的第个数（从左数起）记为ሺݔ，则ሺݔ________．16.设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数为函数的“似周期”，现有下面四个关于“似周期函数”的命题：ሺݔ如果“似周期函数”的“似周期”为t，那么它是周期为的周期函数；ሺݔ函数是“似周期函数”；ሺݔ函数是“似周期函数”；ሺݔ如果函数cos是“似周期函数”，那么“，Z.其中真命题的序号是________.三、解答题)17.已知集合是函数tt的定义域，集合香t，．tሺݔ若，求香；ሺݔ若香，求实数的取值范围．18.设函数t的反函数为t，log.ሺݔ求t；ሺݔ设函数tt，判断函数在区间上的单调性并用定义证明．19.如图，现在要在一块半径为米，圆心角为的扇形纸板香上剪出一个矩形‴⸴，使点在弧香上，点⸴在上，点，‴在香上，设香，矩形‴⸴的面积为．试卷第2页，总7页,ሺݔ求关于的函数关系式；ሺݔ求的最大值及相应的值．20.已知是数列的前项和，且t.ሺݔ求，，，的值；ሺݔ设t，求证：数列是等比数列；ሺݔ设t，如果对任意，都有，求正整数的最小值．21.已知函数t的定义域为，其中为常数．ሺݔ若，且是奇函数，求的值；ሺݔ若t，t，函数的最小值是，求的最大值；ሺݔ若，在上存在个点ሺ，，，，），满足，，，使得tttt，求实数的取值范围．试卷第3页，总7页,参考答案与试题解析2020-2021学年上海市某校高三（上）期中考试数学试卷一、选择题1.D2.C3.C4.B二、填空题5.6.7.8.9.t10.，11.12.t13.14.15.16.，，三、解答题17.解：ሺݔ由二次根式有意义的条件可知集合满足tt，即t，即ሺtݔሺݔ，解得t，所以集合tͳ；t当时，由集合香可得，，即ሺtݔtሺݔ，t解得，所以集合香ሺݔ.香ሺͳ.tሺݔtሺݔtሺ即，ݔ，t当时，香；当时，香；当时，香.因为香，，，所以或或t，所以t或或，所以t.18.解：ሺݔ因为，所以t，所以，试卷第4页，总7页,所以log，所以tlogሺݔ．ሺݔlogtloglog在区间上单调递增.证明：任取，，且，ሺݔlog，log，则tttttt，因为，所以t，，所以，所以loglog，即．所以函数在区间上单调递增．19.解：ሺݔ由题可得‴sinsin，tan香tan，‴‴t⸴costtan香costsin，所以sinሺcostsinݔሺݔ.ሺݔsincostsinsincostsinሺtcosݔsintsincostsincostsint，因为，所以，当即时取得最大值，.试卷第5页，总7页,答：当时，矩形‴⸴的面积最大值为.20.ሺݔ解：当时，可得t，整理得，解得；当时，可得t，整理得，解得；当时，可得t，整理得，解得；当时，可得t，整理得，解得.所以，，，．ሺݔ因为t，所以时，tttt，所以时，tttt，得t，所以时，ttttt，即时，t，tt，所以数列是等比数列，且首项为t，公比为．ሺݔ由ሺݔ可得，t，t所以䁨t，所以䁨t䁨ሺݔሺtݔttሺtݔ，所以䁨䁨䁨䁨䁨所以䁨有最大值䁨䁨．对任意N，都有䁨，当且仅当，即时，正整数的最小值是．21.解：ሺݔ因为是奇函数，所以t对任意恒成立，所以ttሺtݔtt，即t即对任意恒成立，所以.试卷第6页，总7页,tt，，ሺݔttt，，因为t，所以tͳ），所以tt，t．①当tt时，tt，在t上单调递减，在上单调递增，mint．②当t时，t，在t上单调递增，mint．t，tt，综上所述，，t，若tt，则tt；若t，则t，所以当t时，maxt．ሺݔ因为，且在上单调递增，在上单调递减，所以max，min，而ሺݔሺtݔtሺݔሺtݔሺݔሺtݔሺݔmaxtሺݔmin，要使满足条件的点存在，必须且只需t，即，解得．试卷第7页，总7页
