2020-2021学年山东省德州某校高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.直线െ͵െݕെ的倾斜角为（）ݕA.B.C.D.2.抛物线͵的准线方程为（）A.͵B.͵C.͵െD.͵െ3.已知空间向量香െ，香െ，香且香െ，则与的夹角的余弦值为（）െെA.B.െC.D.െ4.平面的一个法向量香െെ，则͵轴与平面所成的角的大小为（）A.B.C.D.5.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为，跨径为，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（）A.B.C.D.6.等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线͵＝的准线交于，两点，＝，则的实轴长为（）A.B.C.D.7.如图所示，三棱柱െ所有棱长均相等，各侧棱与底面垂直，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）试卷第1页，总8页,ݕݕA.B.C.D.െെݕݕ8.点是直线͵െ＝െ上的动点，由点向圆͵＝作切线，则切线长的最小值为（）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.已知平面上一点香ݕെ，若直线上存在点使，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是()A.͵B.͵C.͵D.͵10.下列关于空间向量的命题中，正确的是（）A.若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则B.若非零向量，，满足，，则有C.若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面D.若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底11.已知双曲线过点香且渐近线为͵，则下列结论正确的是()A.双曲线的方程为െ͵B.双曲线的离心率为C.曲线͵െെ经过的一个焦点D.直线െ͵െെ与有两个公共点12.如图，在菱形中，，െ，将沿对角线翻折到位置，连结，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）试卷第2页，总8页,A.与平面所成的最大角为ݕB.存在某个位置，使得C.当二面角െെ的大小为െ时，D.存在某个位置，使得到平面的距离为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.)13.若圆͵与圆͵െെ͵െͺെ相切，则ͺ的值为________．͵14.已知方程表示焦点在͵轴上的椭圆，则ͺ的取值范围是________．ͺെെͺ15.正方体െ中，，分别是，的中点，则与直线所成角的大小为________；与对角面所成角的正弦值是________．͵16.已知双曲线െ香െെ的左焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的左支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围为________．四、解答题：本大题共6个小题，17题10分，其余每题12分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.（1）若抛物线的焦点在直线െ͵െെ上，求此抛物线的标准方程；17.͵（2）若双曲线与椭圆共焦点，且以͵为渐近线，求此双曲线的标准方程．18.已知香，香െ͵െ，香െ，，，求：香，，；香与夹角的余弦值．19.已知直线经过两条直线െ͵െെ和െ͵െݕെ的交点，且与直线͵െെ垂直．（1）求直线的方程；（2）若圆的圆心为点香െ，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程．20.已知抛物线͵＝香െ上的点香ͺ到其焦点的距离为．（1）求的方程；并求其焦点坐标；（2）过点香െ且斜率为的直线交抛物线于，两点，求弦的长．21.如图，在四棱锥െ中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面，＝，＝．试卷第3页，总8页,（1）求证：为的中点；（2）求二面角െെ的大小；（3）求直线与平面所成角的正弦值．͵22.已知，分别是椭圆香െ的左右焦点，是椭圆上的点，且轴，．直线经过，与椭圆交于，两点，与，两点构成．（1）求椭圆的离心率；（2）设的周长为，求的面积的最大值．试卷第4页，总8页,参考答案与试题解析2020-2021学年山东省德州某校高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A2.D3.B4.B5.A6.A7.A8.C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9.B,C10.A,C,D11.A,C12.B,C三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.െ或14.ͺͺ或ͺെ15.,16.四、解答题：本大题共6个小题，17题10分，其余每题12分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.直线െ͵െെ与坐标轴的交点分别为香െ，香െെ，若焦点为香െ，可设抛物线的方程为͵香െ，由，即，抛物线的方程为͵；若焦点为香െെ，可设抛物线的方程为െ͵香െ，由െെ，即，抛物线的方程为െ͵，综上可得，所求抛物线的方程为͵或െ͵；͵椭圆的焦点为香െ，͵设双曲线的方程为െ香െെ，则，由渐近线͵，可得，解得，，͵可得双曲线的方程为െ．试卷第5页，总8页,18.解：香∵，∴െെ，解得，͵െ，͵故香，香െെെ，又∵，∴െ，即െെെ，解得，故香െ.香由香可得香ݕ，香െ，设向量与所成的角为，ݕെ则cosെ.െ͵െ＝െ＝19.由题意知，解得，െ͵െݕ＝െ͵＝∴直线െ͵െെ和െ͵െݕെ的交点为香；设直线的斜率为，∵与直线͵െെ垂直，∴；∴直线的方程为͵െ香െ，化为一般形式为െ͵െെ；设圆的半径为，则圆心为香െ到直线的距离为െെെ，由垂径定理得香香香，解得，∴圆的标准方程为香െ͵．20.由抛物线的方程可得其准线方程为െ，由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以െ香െ＝，解得＝，所以抛物线的方程为：͵＝，焦点香െ．由题意可得直线的方程为：͵＝െ，设香͵，香͵，͵由，整理可得：െ＝െ，＝，＝，͵െ所以弦长香െെ，所以弦的长为．21.证明：如图，设＝，∵为正方形，∴为的中点，连接，∵平面，平面，平面平面＝，试卷第6页，总8页,∴，则，即为的中点；取中点，∵＝，∴，∵平面平面，且平面平面＝，∴平面，则，连接，则，由是的中点，是的中点，可得，则．以为坐标原点，分别以、、所在直线为、͵、轴建立空间直角坐标系，由＝，＝，得香െെ，香െെെ，香െെ，香െ，香െെ，香െ，香െെ，香െെ．设平面的一个法向量为ͺ香͵，ͺെെെ则由，得，取，得ͺ香．െ͵െͺെ取平面的一个法向量为香െെ．ͺ∴cosͺ．ͺ∴二面角െെ的大小为െ；香െെ，平面的一个法向量为ͺ香．ͺെ∴直线与平面所成角的正弦值为cosͺ＝＝ͺ．22.解：（1）由题意可得香െെ，香െ，设点在第一象限，令，可得͵െ，则香，香െെ，香െെ，可得，试卷第7页，总8页,则香െ，可得，即，即有离心率；（2）由（1）可得，由椭圆的定义可得，的周长为，െ解得，，则，可得椭圆方程为͵，由题知直线斜率不为െ，设直线方程为͵െ，͵െ由，得香͵െ͵െെ，͵设香͵，香͵，即有͵͵，͵͵െ香，香͵െ͵香͵͵െ͵͵香香，则͵െ͵香香，“”成立时，即，则的面积的最大值为．试卷第8页，总8页
