2020-2021学年天津某校高二（上）期中数学试卷一、选择题（共10题，每题3分，共30分）)1.已知双曲线＝，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.2.已知直线：ܽܽ＝，ܽ＝，其中ܽ，若，则ܽ的值（）A.B.C.或D.或3.过点作圆＝的切线，则的方程为（）A.＝B.＝或＝C.＝D.＝或＝4.直线＝与圆＝相交于、，则弦的长度为（）A.B.C.D.5.已知圆的半径为，圆心在轴的正半轴上，直线＝与圆相切，则圆的方程为（）A.＝B.＝C.＝D.＝6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且＝，则的面积为（）A.B.C.D.7.对于向量ܽ、、和实数，下列命题中真命题是（）A.若ܽ，则ܽ或B.若ܽ，则＝或ܽC.若ܽ，则ܽ或ܽD.若ܽܽ，则8.如图，长方体ܥܥ中，＝＝，＝，是侧棱上靠近点的三等分点，则三棱锥ܥ的体积为（）试卷第1页，总8页,A.B.C.D.9.已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则A.B.C.D.10.已知点是双曲线的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为，则下列说法正确的个数是（）①点的横坐标为；②的周长为；③小于；④的内切圆半径为．A.个B.个C.个D.个二、填空题（共6题，每题4分，共24分）)11.若圆＝与圆：ܽ＝ܽ相外切，则ܽ的值为________．12.如图，在空间四边形ܥ中，ܽ，ܥܽ，棱，ܥ，的中点分别为，，，若ܽ，则＝________．13.已知圆＝．直线过点，且与圆交于、两点，＝，则直线的方程________＝或________．试卷第2页，总8页,14.已知两圆＝和＝相交，则公共弦的长度为________．15.已知双曲线ܽܽ的离心率是，左、右焦点分别是，，过且与轴垂直的直线交双曲线于，两点，则：（1）其渐近线方程是________；（2）tan＝________．16.已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方．若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是________．三、解答题（共3题，17题15分，18题15分，19题16分）)17.如图，在三棱锥中，底面，＝．点ܥ，，分别为棱，，的中点，是线段ܥ的中点，＝＝，＝．（1）直线与直线所成角的余弦值；（2）求证：平面ܥ；（3）求面与面夹角的余弦值．18.如图，在四棱锥ܥ中，平面ܥ平面ܥ，ܥ，＝ܥ，ܥ，＝，ܥ＝，＝ܥ．（1）求证：ܥ平面；（2）求直线与平面ܥ所成角的正弦值；（3）设，是否存在实数使得平面ܥ？若存在，求的值；若不存在，说明理由．试卷第3页，总8页,19.已知椭圆ܽ经过点，离心率为，左右焦点分别为ܽ，．Ⅰ求椭圆的方程；Ⅱ若直线洠与椭圆交于、两点，与以为直径的圆交于、ܥ两点，且满足，求直线的方程．ܥ试卷第4页，总8页,参考答案与试题解析2020-2021学年天津某校高二（上）期中数学试卷一、选择题（共10题，每题3分，共30分）1.C2.C3.C4.B5.D6.A7.B8.B9.A10.C二、填空题（共6题，每题4分，共24分）11.12.13.,14.15.＝16.三、解答题（共3题，17题15分，18题15分，19题16分）17.∵底面，＝，＝＝，＝∴＝，，∵为的中点，∴，取的中点，连接，∵为的中点，∴，∴，∴是直线与直线所成角，在中，，，∴tan，cos，故直线与直线所成角的余弦值为．证明：取中点，连接、，∵为ܥ中点，∴ܥ，∵ܥ平面ܥ，平面ܥ，∴平面ܥ，∵为中点，∴，又ܥ、分别为、的中点，∴ܥ，∴ܥ，∵ܥ平面ܥ，平面ܥ，∴平面ܥ，又＝，、平面，试卷第5页，总8页,∴平面平面ܥ，∴平面ܥ．以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，∴，，设平面的法向量为，则，即，令＝，则＝，＝，∴，同理可得，平面的法向量为洠，洠∴cos洠，，洠由图可知，面与面所成的角是锐角，故面与面夹角的余弦值为．18.证明：∵平面ܥ平面ܥ，且平面ܥ平面ܥ＝ܥ，且ܥ，平面ܥ，∴平面ܥ，∵ܥ平面ܥ，∴ܥ，又ܥ，且＝，∴ܥ平面．取ܥ中点为，连接，，∵ܥ＝，∴ܥ，又∵＝ܥ，∴ܥ．以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则，，ܥ，，则，ܥ，，ܥ，设为平面ܥ的法向量，ܥ则，取＝，得，设与平面ܥ的夹角为，则直线与平面ܥ所成角的正弦值为：试卷第6页，总8页,sin．设，假设存在实数使得平面ܥ，，由（2）知，，，，，，由，可得，∴，∵平面ܥ，为平面ܥ的法向量，∴＝，解得．综上，存在实数，使得平面ܥ．19.（1）由题意可得，ܽܽ解得，＝，ܽ＝．∴椭圆的方程为．（2）由题意可得以为直径的圆的方程为＝．洠∴圆心到直线的距离，由，可得洠．㘠洠∴ܥ＝洠．设，．洠联立，化为洠洠＝，可得＝洠，洠．试卷第7页，总8页,∴洠洠洠．洠由，得，ܥ洠解得洠满足㘠．因此直线的方程为．试卷第8页，总8页
