2020-2021学年山东省青岛市胶州市、黄岛区高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1.直线＝㘸‹的倾斜角为（）A.㘸B.㘸C.‹香㘸D.2.已知向量ሺ‹ͳͳʹͳሺͳ‹ͳʹ，且，则实数＝（）A.‹B.‹C.D.3.若直线‹ݔݔ线直与㘸＝‹ݔݔ‹＝㘸平行，则实数＝（）A.‹B.‹C.㘸D.‹4.已知三棱柱글�‹글‹�‹，点为线段글‹�‹的中点，则ሺʹ‹‹‹‹A.글ݔ�ݔ글.B‹ݔ�ݔ‹‹‹‹‹C.글ݔ�ݔ글.D‹�ݔ‹5.已知二面角的大小为㘸，，글为棱上不同两点，�，分别在半平面，内，�，글均垂直于棱，�＝글＝글＝，则异面直线�与글所成角的余弦值为（）‹‹‹A.B.C.D.6.若过原点的直线与圆ݔݔ＝㘸有两个交点，则的倾斜角的取值范围为（）A.ሺͳʹB.ሺͳʹC.㘸ͳʹሺͳʹD.㘸ͳʹሺͳʹ7.已知椭圆�ݔ＝‹上两点，글，若글的中点为，直线的斜率等于‹，则直线글的斜率等于（）‹‹A.‹B.‹C.D.8.已知圆ݔ线直与ʹ㘸ሺ＝ݔ‹交于，글两点，且글＝，则圆与函数ሺʹ＝lnሺ‹ʹ的图象交点个数为（）个A.B.‹C.㘸D.试卷第1页，总9页,二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.)9.已知直线ݔ‹＝㘸，则下述正确的是（）A.直线的斜率可以等于㘸B.直线的斜率有可能不存在C.直线可能过点ሺͳ‹ʹD.若直线的横纵截距相等，则＝‹10.已知椭圆�‹ݔ＝㘸㘸，关于椭圆�下述正确的是（）A.椭圆�的长轴长为‹㘸B.椭圆�的两个焦点分别为ሺ㘸ͳʹ和ሺ㘸ͳʹC.椭圆�的离心率等于D.若过椭圆�的焦点且与长轴垂直的直线与椭圆�交于，，则11.已知点‹ሺ‹ͳ㘸ʹ，ሺ‹ͳ㘸ʹ，动点到直线＝的距离为，，则（）‹A.点的轨迹是椭圆B.点的轨迹曲线的离心率等于C.点的轨迹方程为ݔ‹D.‹的周长为定值12.已知四面体글�的所有棱长均为，则下列结论正确的是（）A.异面直线�与글所成角为㘸B.点到平面글�的距离为C.四面体글�的外接球体积为D.动点在平面글�上，且与�所成角为㘸，则点的轨迹是椭圆三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.)13.圆�ݔʹሺ：�圆与㘸＝ݔݔሺ‹ʹ＝的位置关系为________．‹‹14.已知椭圆ݔ‹的离心率等于，则实数＝________．15.已知正方体글�‹글‹�‹‹的棱长为‹，点为线段�‹上一点，＝‹，则点到平面글�的距离为________．16.在平面直角坐标系中，ሺ‹ͳʹ，ሺͳ‹ʹ，点글，�分别在轴、轴上，则：试卷第2页，总9页,（1）글ݔ글的最小值是________；（2）�ݔ글�ݔ글的最小值是________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.已知为坐标原点，直线ݔ圆，ʹሺ㘸＝‹ݔ＝‹．（1）若的倾斜角为‹㘸，求；（2）若与直线㘸＝㘸的倾斜角互补，求直线上的点到圆上的点的最小距离；（3）求点到的最大距离及此时的值．18.在平面直角坐标系中，圆�过点ሺ‹ͳ㘸ʹ和点ሺ㘸ͳ‹ʹ，圆心�到直线ݔ＝㘸的距离等于．（1）求圆�的标准方程；（2）若圆心�在第一象限，为圆�外一点，过点做圆�的两条切线，切点分别为，글，四边形�글的面积为，求点的轨迹方程．19.在四棱锥글�中，底面글�是边长为的正方形，平面글�，为�中点．（1）如果＝，求证：�平面；（2）当글与平面글所成角的正弦值最大时，求三棱锥글�的体积．20.在平面直角坐标系中，�‹ሺ㘸ͳʹ，圆�ݔሺʹ‹，动圆过�‹且与圆�相切．（1）求动点的轨迹�的标准方程；‹（2）若直线过点ሺ㘸ͳ‹ʹ，且与曲线�交于，글，已知，글中点在直线上，求直线的方程．21.如图，在几何体글�中，四边形글�为菱形，글�为等边三角形，글�＝㘸，글＝，�，平面글�平面글�．试卷第3页，总9页,（1）证明：在线段글�上存在点，使得平面글�平面；（2）求二面角글�的余弦值；（3）若平面，求线段的长度．22.已知为坐标原点，椭圆�ݔ‹ሺ㘸ʹ的左、右焦点分别为‹，，‹＝，为椭圆的上顶点，以为圆心且过‹，的圆与直线相切．（1）求椭圆�的标准方程；（2）已知直线交椭圆�于，两点；ሺⅰʹ若直线的斜率等于‹，求面积的最大值；ሺⅱʹ若‹，点在上，．证明：存在定点，使得为定值．试卷第4页，总9页,参考答案与试题解析2020-2021学年山东省青岛市胶州市、黄岛区高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A2.C3.B4.D5.B6.C7.D8.A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.B,D10.A,C,D11.A,C12.B,C,D三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.相交香‹14.香或香15.16.‹㘸四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.由直线的倾斜角为‹㘸，可得直线的斜率等于tan‹㘸，又直线的斜率为，得，即；∵直线与直线㘸＝㘸的倾斜角互补，∴两者斜率互为相反数，得＝，即＝，则ݔ＝㘸．则圆心到直线的距离‹，∴直线上的点到圆上的点的最小距离为‹；由ݔʹ‹ሺ得，㘸＝‹ݔ‹＝㘸，∴直线恒过定点ሺ‹ͳ‹ʹ，∴到的最大距离小于等于，试卷第5页，总9页,此时，，∴＝‹，即‹ሺʹ＝‹，得＝‹．18.因为圆�过点ሺ‹ͳ㘸ʹ和点ሺ㘸ͳ‹ʹ，所以圆心�在线段的垂直平分线＝上，所以可设圆心为�ሺͳʹ，因为圆心�到直线ݔ＝㘸的距离等于ݔ所以，解得＝‹，当＝‹时，圆心为ሺ‹ͳ‹ʹ，半径＝�＝‹，圆�的方程为：ሺ‹ʹݔሺ‹ʹ＝‹当＝‹时，圆心为ሺ‹ͳ‹ʹ，半径�，圆�的方程为：ሺݔሺݔʹ‹ݔ‹ʹ＝所以圆�的标准方程为：ሺ‹ʹݔሺݔʹ‹ݔሺ或‹＝ʹ‹ሺݔ‹ʹ＝．由题知：因为�，所以四边形�글的面积�글��，因为�＝‹，所以，所以�＝�ݔ＝，所以�＝，点的轨迹是以�为圆心，半径为的圆，所以点的轨迹方程为：ሺ‹ʹݔሺ‹ʹ＝．19.∵平面글�，平面�，∴平面�平面글�，∵底面글�是正方形，∴�，又平面글�，平面�平面글�＝�，∴平面�，得�，∵＝�＝，为�的中点，∴�，而＝，∴�平面；设＝，以为坐标原点，分别以、�、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则ሺ㘸ͳ㘸ͳ㘸ʹ，글ሺͳͳ㘸ʹ，ሺ㘸ͳ㘸ͳʹ，ሺ㘸ͳͳʹ，글ሺͳͳ㘸ʹ，ሺ㘸ͳͳʹ，글ሺͳͳʹ，设平面글的法向量为ሺͳͳʹ，㘸ݔ㘸则，即，取＝‹，得ሺ‹ͳ‹ͳʹ，ݔ㘸글㘸∴글与平面글所成角的正弦值为cos글ͳ‹ݔ‹ݔ‹ݔ‹ݔ‹‹香（当且仅当香，即＝时等号成立）．‹香香㘸ݔݔ香‹‹‹‹∴三棱锥글�的体积글�글�글�글�‹．试卷第6页，总9页,20.设动圆的半径为，由题意知：�‹＝，�，所以�‹ݔ��‹�，所以点的轨迹是以�‹，�为焦点的椭圆，其长轴长，焦距为焦，焦‹，所以曲线�的标准方程为：ݔ‹．若直线斜率不存在，则，글关于轴对称，不合题意，若直线斜率存在，设其方程为＝ݔ‹，将＝ݔʹݔሺ：得‹ݔ入代‹ݔ＝㘸，所以‹ݔ，ݔ‹ݔ‹所以，ݔ所以ݔ＝㘸，解得＝‹或＝，所以，直线的方程为：＝ݔ＝或‹ݔ‹．21.证明：取线段글�的中点，连接，，因为글�、글�均为等边三角形，所以글�，글�，＝，所以글�平面，又因为글�平面글�，所以平面글�平面，所以，线段글�的中点，使得平面글�平面因为平面글�平面글�，平面글�平面글�＝글�，글�所以平面글�，所以，글，两两垂直以、글、为、、轴建立空间直角坐标系则ሺͳ㘸ͳ㘸ͳʹͳ글ሺ㘸ͳ‹ͳ㘸ʹͳሺ㘸ͳ㘸ͳʹͳ�ሺ㘸ͳ‹ͳ㘸ʹͳሺͳͳ㘸ʹ，设平面글的一个法向量ሺ‹ͳ‹ͳ‹ʹ，因为글ሺͳ‹ͳ㘸ʹ，ሺͳ㘸ͳʹ，글㘸‹ݔ‹㘸由，得，ݔ㘸㘸‹‹所以ሺ‹ͳͳ‹ʹ试卷第7页，总9页,设平面�的一个法向量ሺͳͳʹ，因为�ሺͳ‹ͳ㘸ʹ，�ሺ㘸ͳ‹ͳʹ�㘸ݔ㘸由，得，令＝‹，则，＝‹，所以ሺ‹ͳ�㘸ݔ㘸ͳ‹ʹ，‹设二面角글�的平面角为，所以cos，‹所以二面角글�的余弦值．因为�글，设글ሺͳͳ㘸ʹ，글ሺ㘸ͳ‹ͳ㘸ʹ，所以ሺͳͳ㘸ʹ，ሺͳͳʹ，则ሺͳͳʹ，又因为平面的一个法向量为글ሺ㘸ͳ‹ͳ㘸ʹ，因为글ሺͳͳʹሺ㘸ͳ‹ͳ㘸ʹ＝＝㘸，所以＝，所以글．22.由题意知：‹ሺ‹ͳ㘸ʹ，ሺ‹ͳ㘸ʹ，由椭圆定义知，所以‹ݔ，设椭圆的半焦距为焦，所以ݔ焦＝，所以，＝‹，焦＝‹，所以椭圆�的标准方程为：ݔ‹．ሺⅰʹ设直线的方程为：＝ݔ将＝ݔݔʹݔ‹ሺ：得‹ݔ入代，ݔ＝㘸，设ሺ‹ͳ‹ʹ，ሺͳʹ，所以‹ݔ‹‹，ݔ‹ݔ，又因为＝‹，得글‹ሺ‹ݔʹ‹，试卷第8页，总9页,点到直线的距离，‹ݔ‹ݔ所以글ሺʹሺʹ，等号当仅当＝时取，即当时，的面积取最大值为．ሺⅱʹ显然直线的斜率一定存在，设直线的方程为：＝ݔ，由ሺⅰʹ知：‹ݔ‹‹ͳݔ‹ݔ，所以‹ሺ‹ݔ‹ݔʹݔ‹ሺݔ‹ʹݔሺʹݔ，所以‹ݔ‹‹，‹ݔ‹解得，，直线＝过定点ሺ㘸ͳʹ或ሺ㘸ͳʹ所以在以为直径的圆上，该圆的圆心为ሺ㘸ͳʹ或ሺ㘸ͳʹ，半径等于，所以存在定点ሺ㘸ͳʹ或ሺ㘸ͳʹ，使得为定值．试卷第9页，总9页
