2020-2021学年山东省青岛市胶州市、黄岛区高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1.已知集合＝‸㘱cos‸㌳‸㌳，集合＝‸㘱‸‸．则＝（）A.B.C.D.2.已知数列各项均大于，，“＝”是“数列lg成等比数列”的（）A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件3.已知角终边经过点，若，则＝（）A.B.C.D.4.已知向量，，䁞，䁞，若，则实数䁞的值为（）A.B.C.D.5.在空间中，、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列判断正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，则ln‸‸ݔ6.已知函数‸，若‸，使得‸＝‸成立，则实数的‸‸取值范围是（）A.B.C.D.7.已知函数‸sin‸cos‸‸，则‸的单调递增区间是（）A.B.C.D.8.定义在上的函数‸满足：当‸㌳时，‸＝‸‸；当‸时，‸＝‸．记函数‸的极大值点从小到大依次记为，，…，，…，并记相应的极大值为，，…，，…，则ǤǤǤ的值为（）A.B.C.D.试卷第1页，总10页,二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。)9.在中，㘱㘱＝，㘱㘱＝，，则（）A.ݔB.C.D.10.已知函数‸＝sin‸ݔݔ㌳㌳的最小正周期为，其图象的一个最高点为，下列结论正确的是（）A.＝B.C.将‸图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到‸图象；再将‸图象向右平移个单位长度，得到函数sin‸的图象D.＝‸的图象关于‸＝对称11.在三棱柱中，、、分别为线段、、的中点，下列说法正确的是（）A.平面平面B.直线平面C.直线与异面D.直线与平面相交12.已知‸是定义在上的奇函数，且‸＝‸，当‸时，‸＝‸，关于函数‸＝㘱‸㘱㘱‸㘱，下列说法正确的是（）A.‸为偶函数B.‸在上单调递增C.‸不是周期函数D.‸的最大值为三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。)13.已知复数䁕（䁕为虚数单位），则㘱㘱＝________．䁕14.已知sin，㌳㌳，则sincos＝________．15.已知＝log，＝log，＝，则，，的大小关系为________（用“㌳”连接）．16.在四面体中，底面，＝，、、、均为直角三角形，若该四面体最大棱长等于，则：（1）该四面体外接球的表面积为________；（2）该四面体体积的最大值为________．试卷第2页，总10页,四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)17.在①sin＝sin，②cos＝coscossinsin两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．在中，内角，，的对边分别为，，，已知______．（1）求；（2）已知函数‸cos‸，‸，求‸的最小值．18.如图，在半圆柱中，、分别为该半圆柱的上、下底面直径，、分别为半圆弧、上的点，、、均为该半圆柱的母线，＝＝．（1）证明：平面平面；（2）设㌳㌳，若二面角的余弦值为，求的值．19.已知正项数列的前项和为，＝，＝，．（1）求的通项公式；（2）若数列满足：ǤǤǤ＝，求数列㘱log㘱的前项和．20.已知函数‸＝ln‸‸ln，ݔ．（1）讨论‸的极值点；（2）若‸恒成立，求的值．21.如图，在平面四边形中，＝，＝，，＝，cos．试卷第3页，总10页,（1）求sin；（2）将沿折起，形成如图所示的三棱锥，＝．ⅰ三棱锥中，证明：点在平面上的正投影为点；ⅱ三棱锥中，点，，分别为线段，，的中点，设平面与平面的交线为，为上的点．求与平面所成角的正弦值的取值范围．22.已知函数‸＝ln‸‸sin‸，ݔ．（1）若‸＝恰为‸的极小值点．ⅰ证明：㌳㌳；ⅱ求‸在区间上的零点个数；‸‸‸‸‸‸‸‸（2）若＝，‸‸，‸‸‸‸又由泰勒级数知：cos‸＝，．证明：．试卷第4页，总10页,参考答案与试题解析2020-2021学年山东省青岛市胶州市、黄岛区高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.B2.D3.C4.A5.C6.D7.A8.D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.B,C,D10.B,C11.A,C12.A,C,D三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。13.14.15.㌳㌳16.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.若选择①：由正弦定理得sinsinsinsin，因为㌳㌳，所以sin，所以sinsin，又因为＝，所以cossincos，因为㌳㌳，㌳㌳，所以cos，所以sin，，所以．若选择②：cos＝coscossinsin，可得sin＝sinsinsinsin，整理可得sinsin试卷第5页，总10页,sin＝sinsin，由正弦定理可得＝，由余弦定理可得cos，因为，所以．由（1）知：，可得函数‸cos‸，因为‸，所以‸，可得cos‸，所以‸cos‸，所以‸的最小值为．18.证明：因为为半圆柱的母线，所以平面，所以，，又因为为直径，所以，因为＝，所以平面，又因为平面，所以平面平面．以坐标原点，分别以，，为‸，，轴建立空间直角坐标系，所以cos，sin，，设平面的法向量‸，因为‸cossin，‸sin，cos‸sin所以，sin取＝，解得‸＝tan，＝sin，所以平面的法向量tansin，取平面的法向量，sin由题知：㘱㘱，所以，㘱㘱㘱㘱tansin试卷第6页，总10页,所以sincos＝，即sin＝，所以sin＝或sin＝（舍），所以，此时．解法二，过点作垂直于，垂足为，连接，由题可得垂直于，即为的二面角，所以cos，在直角三角形中，＝，所以tan＝，因＝＝＝，所以＝＝，所以三角形为等腰直角三角形，所以．19.由题知：，两式相减得：；所以所以＝；所以＝，又因为，所以因为＝，所以＝适合所以＝＝．由（1）得：①；所以②，①-②得：，所以，又由①式得，适合上式所以，所以，㘱log㘱所以，．20.由‸＝ln‸‸ln，得‸ln‸ݔ，‸若㌳，则‸lnݔ，‸∴‸＝ln‸‸ln在上单调递增，‸无极值点；若ݔ，由‸ln，得‸，‸ln当‸时，‸ݔ，‸在上单调递增；lnln试卷第7页，总10页,当‸时，‸㌳，‸在上单调递减．lnln∴当ݔ时，‸存在唯一极大值点‸；ln‸恒成立，则ln‸‸ln恒成立，ln‸ln∵‸ݔ，ݔ，则恒成立，‸ln‸ln‸令‸，‸，‸‸当‸时，‸ݔ，‸单调递增，当‸时，‸㌳，‸单调递减，∴‸max，ln∴即成立，即ln成立，令ln，则，当时，㌳，单调递减，当时，ݔ，单调递增，∴min＝＝，则满足ln成立的＝．21.在䁞中：，在中由余弦定理：cos，所以，在中由正弦定理：；sin，sinsin所以sin．ⅰ证明：在中，因为，所以＝，，在中，因为，所以＝，，又因为＝，所以平面，所以点在平面上的正投影为点．ⅱ因为，平面，平面，所以平面，平面与平面的交线为，所以，以坐标原点，分别以、、为‸、、轴建立空间直角坐标系‸，所以，设䁞，设平面的法向量‸，因为‸䁞，试卷第8页，总10页,‸䁞，‸䁞所以，取＝，解得‸䁞，䁞所以，平面的一个法向量为䁞，因为，设与平面所成角为，㘱䁞㘱所以，sin㘱㘱，㘱㘱㘱㘱䁞若䁞，则sin＝；若䁞，则sin㌳，䁞所以与平面所成角的正弦值的取值范围为．22.证明：ⅰ由题意得：‸＝ln‸‸cos‸ݔ，因为‸＝为函数‸的极值点，所以＝ln＝，令‸＝ln‸‸‸ݔ‸则，ݔ，‸在上单调递增，‸因为ݔlnln㌳，所以‸＝ln‸‸‸ݔ在上有唯一的零点，所以㌳㌳；ⅱ由ⅰ知：ln＝，‸＝sin‸‸‸，‸＝cos‸‸‸，①当‸时，由ݔ‸，ݔ‸，‸cos，ݔ得：‸㌳，所以‸在上单调递减，‸ݔ＝，所以‸在区间上不存在零点；②当‸时，设‸＝cos‸‸‸，则‸＝‸‸sin‸，‸‸若‸，令‸＝‸sin‸，则‸＝‸cos‸㌳，所以‸在上单调递减，因为ݔ㌳；所以存在，满足＝，试卷第9页，总10页,当‸时，‸＝‸ݔ，‸在上单调递增；当‸时，‸＝‸㌳，‸在上单调递减；‸‸若‸，令‸‸‸，则‸＝‸㌳，所以‸在区间上单调递减，所以‸㌳㌳，又因为sin‸sinsinݔsin，‸所以‸＝‸sin‸㌳，‸在上单调递减；若‸，则‸＝‸‸sin‸㌳，‸在上单调递减；由得，‸在上单调递增，‸在单调递减，因为ݔ＝，＝㌳，所以存在使得＝，所以当‸时，‸＝‸ݔ‸，增递调单上在‸，ݔ＝，当‸时，‸＝‸㌳，‸在上单调递减，因为ݔ＝，㌳，所以‸在区间上有且只有一个零点；综上，‸在区间上的零点个数为个；sin‸‸‸‸‸因为①‸‸‸‸‸对cos‸，‸‸‸‸两边求导得：sin‸，‸‸‸‸sin‸，sin‸‸‸‸所以②‸比较①②式中‸的系数，得：所以．试卷第10页，总10页
