2020-2021学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷

2020-2021学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知集合＝ݔ댳ȁݔ＝，䁪댳ݔȁݔ，则＝（）A.ݔݔ.Dݔȁݔ.Cȁݔ댳ȁݔ.B䁪댳ݔ댳ȁݔ댳䁪2.“댳䁪”是“ȁ䁪ȁ댳ܽ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知变量ݔ，之间的一组数据如表：ݔ䁪䁪䁪若关于ݔiܽ为程方归回性线的ݔg，则A.ܽ䁪B.ܽC.ܽD.ܽ䁪4.已知，为不同直线，，为不同平面，则下列结论正确的是（）A.若，，则B.若，，，，则C.若，，，则D.若＝，，，则5.高一某班有名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有（）A.䁪种B.ܽ种C.䁪ܽ种D.䁪쳌ܽ种6.已知，tan＝ȁ，则sinȁ等于（）䁪A.B.C.D.7.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量（单位：贝克）ȁ与时间（单位：天）满足函数关系ܽܽ，其中ܽ为＝ܽ时该放射性同位素ln的含量．已知＝䁪时，该放射性同位素的瞬时变化率为ȁ，则该放射性同位素䁪ܽ含量为䁪贝克时，衰变所需时间为（）A.ܽ天B.ܽ天C.䁪天D.ܽ天8.定义运算：试卷第1页，总11页,①对，ܽ＝ܽ＝；②对，，，＝gg．若ݔȁ䁪䁪ȁݔ＝ݔ，则有（）A.函数＝ݔ于关象图的ݔ＝䁪对称B.函数ݔ在上单调递增C.函数ݔ的最小值为D.댳二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9.中国的华为公司是全球领先的领先（信息与通信）基础设施和智能终端提供商，其致力于把数字世界带给每个人、每个家庭、每个组织，构建万物互联的智能世界．其中华为的智能手机是全世界很多年轻人非常喜欢的品牌．为了研究某城市甲、乙两个华为智能手机专卖店的销售状况，统计了ܽܽ年䁪月到月甲、乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如下的折线图，则下列说法正确的是（）A.根据甲店的营业额折线图可知，该店月营业额的平均值在䁪䁃内B.根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势C.根据甲、乙两店的营业额折线图可知乙店的月营业额极差比甲店小D.根据甲、乙两店的营业额折线图可知i、쳌、月份的总营业额甲店比乙店少10.若非零实数ݔ足满，ݔ댳，则以下判断正确的是（）䁪䁪䁪ݔ䁪A.댳B.ݔln.D댳.C댳ݔȁg䁪댳ܽݔ11.已知函数ݔcosݔg댳ܽܽ댳댳的最小正周期为，其图象的一条对称轴为ݔ，则（）䁪A.试卷第2页，总11页,B.函数＝ݔsin＝由可象图的ݔ的图象向左平移个单位长度得到C.函数ݔ在ܽ䁃上的值域为ȁ䁪䁃D.函数ݔ在区间ȁȁ䁃上单调递减䁪ȁ䁪ݔܽȁݔ䁪12.已知函数ݔ数函于关列下，中其ݔ的判断ݔȁ䁪ݔ댳䁪正确的为（）A.当＝时，＝䁪B.当댳䁪时，函数ݔ的值域为ȁ䁃ȁ䁪ȁ䁪C.当＝且ݔ䁪ȁݔ，时晦䁃䁪ȁݔȁ䁪ݔȁD.当댳ܽ时，不等式ݔ在ܽg上恒成立三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．)䁪13.ݔ中式开展的gݔ的系数为________．ݔ14.若一直角三角形的面积为ܽ，则该直角三角形的斜边的最小值为________．15.已知ݔg䁪＝ݔȁ䁪足满，数函奇的上在义定是ݔ．若䁪＝䁪，则䁪ggggܽ䁪＝________．16.如图，已知菱形领_边长为，_＝ܽ，点为对角线领上一点，领＝．将_沿_翻折到香_的位置，记为香，且二面角香ȁ_ȁ领的大小为䁪ܽ，则三棱锥香领_的外接球的半径为________；过香作平面与该外接球相交，所得截面面积的最小值为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.已知正三棱柱领ȁ䁪䁪领䁪的底面边长为，点，分别为棱领领䁪与䁪䁪的中点．试卷第3页，总11页,（1）求证：直线平面䁪领；（2）若该正三棱柱的体积为，求直线与平面领所成角的余弦值．g䁪18.在①sinsin，②cos，③cos领gsin＝这三个条件中任选一i个，补充在下面问题中的横线处，并完成解答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）问题：领的内角，，领的对边分别为，，，，_是边上一点，_＝，领_＝i，且_____，试判断_和_的大小关系．19.已知函数ݔ在gݔgݔȁݔ＝ݔ＝ܽ处取得极大值䁪．（1）求函数＝ݔ在象图的ݔ＝䁪处切线的方程；（2）若函数ݔ在g䁃上不单调，求实数的取值范围．20.四棱锥ȁ领_中，底面领_为直角梯形，领_，领＝ܽ，＝领＝领_＝䁪，侧面_面领_，＝_＝．（1）求证：_；（2）已知平面_与平面领的交线为，在上是否存在点，使二面角ȁ䁪_领ȁ的余弦值为？若存在，请确定点位置，若不存在，请说明理由．21.ܽܽ年䁪ܽ月䁪日，是第䁪ܽ个世界粮食日．中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地领ȁ쳌ܽ䁪测产，亩产超过䁪쳌公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入．某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为iܽ䁪ܽܽ䁃，其质量指标等级划分如表：质量指标值iܽii쳌ܽ쳌ܽ쳌쳌ܽܽ䁪ܽܽ䁃质量指标等级良好优秀良好合格废品好为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了䁪ܽܽܽ件，将其质量指标值的数据作为样本，绘制如下频率分布直试卷第4页，总11页,方图：（1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取件产品，记“抽出的产品中至少有䁪件不是废品”为事件，求事件发生的概率；（2）若从质量指标值쳌的样本中利用分层抽样的方法抽取i件产品，然后从这i件产品中任取件产品，求质量指标值ܽ的件数的分布列及数学期望；（3）若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如表䁪댳댳䁪：质量指标值iܽii쳌ܽ쳌ܽ쳌쳌ܽܽ䁪ܽܽ䁃利润（元）쳌䁪ȁ试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：lnܽi，ln䁪）．22.已知函数ݔgݔnlȁݔݔ＝ݔ．（1）当댳ܽ时，求ݔ的最小值；（2）若对任意ݔ式等不有恒ܽ댳ݔ䁪成立．①求实数的值；②证明：ݔnisgݔnlgݔ댳ݔݔ．试卷第5页，总11页,参考答案与试题解析2020-2021学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.C2.B3.C4.C5.B6.B7.D8.A二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分9.A,B,D10.B,D11.B,C12.A,C三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.䁪ܽ14.䁪ܽ15.䁪䁪16.,䁪四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.取䁪的中点_，连接_，_，在平行四边形领领䁪䁪中，∵为领领䁪的中点，_为䁪的中点，∴_领，在䁪䁪中，∵为䁪䁪的中点，_为䁪的中点，∴_䁪，又_、_平面_，__＝_，∴平面_平面䁪领，又平面_，∴平面䁪领；设䁪＝，领ȁ䁪䁪领䁪领䁪䁪，∴，即．∵平面领平面䁪䁪领䁪，∴与平面领所成角即与平面䁪䁪领䁪所成角，试卷第6页，总11页,∵领领䁪平面䁪䁪领䁪，∴在平面䁪䁪领䁪上的射影为领䁪，∴领䁪为与平面䁪䁪领䁪所成角，∵领䁪，领䁪，∴，䁪∴cos领䁪．䁪即直线与平面领所成角的余弦值为．18.设领＝ݔ即，cosݔȁgݔ＝䁪得可理定弦余由，中_领在，ݔȁݔȁ䁪＝ܽ，解得ݔ或，쳌＝ݔ＝ȁ（舍去），所以领＝쳌，g选择条件①sinsin，g由正弦定理可得sin领sin＝sinsin，g因为ܽ，sinܽ，所以sin领＝sin，领领领又因为g＝ȁ领，所以sin领＝sincoscos，领领因为领ܽ，可得ܽ，可得cosܽ，领䁪领所以sin，即，领，又，所以领是等边三角形，可得＝쳌，所以_＝，故_댳_．䁪选择条件②cos，ii可得sin䁪ȁ，i因为gg领＝，䁪䁪ii所以sin领＝sing＝sincosgcossing，ii䁪䁪领쳌在领中，由正弦定理，可得，解得＝䁪ܽ，sin领sinii䁪䁪i又_＝，故_＝_．选择条件③cos领gsin＝，由正弦定理可得sincos领gsin领sin＝sin，因为gg领＝，所以sincos领gsin领sin＝sing领＝sincos领gsin领cos，所以sin领sin＝sin领cos，试卷第7页，总11页,又因为sin领ܽ，所以sin＝cos，又因为ܽ，故，所以领，在䁪䁪领쳌领中，由正弦定理，可得，解得＝䁪g䁪댳䁪ܽ，sin领sing䁪又因为_＝，所以_댳_．19.∵香ݔȁݔ＝ݔg，香ܽܽܽ由题意得：，解得：，ܽ䁪䁪故ݔȁݔ＝ݔg䁪，经检验，符合题意，又䁪＝ȁ䁪，香䁪＝ȁ，故函数＝ݔȁ＝䁪ȁȁ：为程方线切的处䁪＝ݔ在象图的ݔȁ䁪，即ݔgȁ＝ܽ；∵香ݔȁݔ＝ݔ，令香ݔ或댳ݔ：得解，ܽ댳ݔ댳ܽ，令香ݔ댳ܽ：得解，ܽ댳ݔ댳，故ݔ在ȁܽ递增，在ܽ递减，在g递增；∵函数ݔ在g䁃上不单调，∴댳ܽ댳g或댳댳g，解得：ȁ댳댳ܽ或ܽ댳댳，故的取值范围是ȁܽܽ．20.证明：取_的中点，连接，∵领_，领＝ܽ，∴领领_，∵领＝领_＝，∴_＝，领_＝䁪，∴_＝䁪，∴__gȁ_cos_，∴_g_＝，∴__，∵＝_，是_的中点，∴_，∵平面_平面领_，平面_平面领_＝_，平面_，_，∴平面领_，∴_，又_＝，_平面_，平面_，∴_平面_，又平面_，∴_．延长领，_，设领的延长线和_的延长线交点为，连接，则平面_和平面领的交线为直线，以为原点，以、、平面领_的过点的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系ȁݔ，则䁪，领ܽܽ，_ܽ，ܽ䁪ܽ，∴领_ܽܽ，_ȁ䁪䁪ȁ，ȁȁ，设ȁȁ，则_ȁ_（䁪ȁȁ䁪䁪ȁ），领_ܽݔ䁪ܽ设平面领_的法向量为ݔ䁪䁪䁪，则，即ȁݔgȁ，_ܽ䁪䁪䁪ܽ令䁪＝䁪可得ܽ䁪，试卷第8页，总11页,领_ܽ设平面领_的法向量为ݔ，则，即_ܽݔܽ，䁪ȁݔgȁ䁪g䁪ȁܽ䁪ȁ令可得ܽ，䁪ȁ䁪ȁg䁪ȁ∴cos댳，댳，䁪ȁg䁪ȁ䁪ȁ䁪g䁪ȁ䁪若二面角ȁ_领ȁ的余弦值为，则，䁪ȁg䁪ȁ䁪解得：或，䁪䁪ȁ令ܽ可得gܽ，解得，䁪ȁ故当ܽ댳댳时，二面角ȁ_领ȁ为锐二面角，当댳䁪时，二面角ȁ_领ȁ为钝二面角，䁪∴，即在直线上存在点，当为的中点时，二面角ȁ_领ȁ的余弦䁪值为．21.设事件的概率为，则由频率分布直方图可得，䁪件产品为废品的概率为＝ܽܽ䁪gܽܽ＝ܽ，则＝䁪ȁ领ܽ＝䁪ȁܽܽi＝ܽi，由频率分布直方图得指标值大于或等于쳌的产品中，쳌ܽ的频率为ܽܽ쳌＝ܽ䁪，ܽ的频率为ܽܽ䁪＝ܽ，䁪ܽܽ䁃的频率为ܽܽ＝ܽ䁪，∴利用分层抽样抽取的i件产品中，쳌ܽ的有䁪件，ܽ的有件，䁪ܽܽ的有䁪件，从这i件产品中，任取件，质量指标值ܽ的件数的所有可能取值为ܽ，䁪，，领＝ܽ，领ii试卷第9页，总11页,领䁪领䁪＝䁪，领ii领领䁪䁪＝，领ii∴的分布列为：ܽ䁪䁪䁪iii䁪䁪＝ܽg䁪g．iiii由频率分布直方图可得该产品的质量指标值与利润（元）的关系与表所示䁪댳댳䁪，质ܽ쳌쳌ܽiiܽ量指䁪ܽ댳ܽܽ댳쳌댳쳌ܽ댳i标值利䁪쳌ȁ润ܽܽ䁪ܽ䁪ܽ䁪ܽܽ∴每件产品的利润：＝ȁܽgܽ쳌gܽgܽ쳌gܽ＝ȁܽg，䁪댳댳䁪，则香＝ȁܽg，令香＝ȁܽg＝ܽ，解得＝ln，∴当䁪ln时，香댳ܽ，函数＝ȁܽg单调递增，当ln䁪时，香댳ܽ，函数＝ȁܽg，单调递减，∴当＝ln时，取最大值，为ȁܽlngln＝䁪，∴生产该产品能够实现盈利，当＝ln䁪时，每件产品的利润取得最大值为䁪元．22.ݔ的定义域是ܽg，ݔݔȁ由题意得香ݔ＝ݔg䁪，ݔ令ݔݔ＝：得ܽ＝ȁݔݔ，令ݔ䁪gݔ＝ݔ香则，ݔݔ＝ݔ댳ܽ，故ݔ在ܽg递增，且ܽ＝ܽ，故＝ݔݔ有唯一实数根，即香ݔݔ＝即，ݔ为设，根数实一唯有ܽ＝ݔܽ，ܽܽ故ݔ在，数函减为上ܽݔܽ在ݔܽg上为增函数，故ݔgݔnlȁܽݔݔ＝ݔ＝ݔ＝ȁln；minܽܽܽܽ①当댳ܽ时，ݔ，增递调单ݔ的值域为，不符合题意；试卷第10页，总11页,䁪当＝ܽ时，则댳䁪，也不符合题意．当댳ܽ时，由（1）可知，ݔmin＝ȁln，故只需ȁln䁪．䁪令，上式即转化为lnȁ䁪，䁪ȁ设＝lnȁg䁪，则香，因此在ܽ䁪上单调递增，在䁪g上单调递减，从而ݔmax＝䁪＝ܽ，所以lnȁ䁪．䁪因此，ln＝ȁ䁪＝䁪，从而有＝䁪＝䁪．故满足条件的实数为＝䁪．②证明：由①可知ݔgݔ有恒，ܽ댳ݔ：明证需只而因，ݔgݔݔnlݔȁݔݔ댳lnݔgsinݔ．注意到前面已经证明：ݔnis댳gݔȁݔ：明证需只此因，ݔnl䁪ȁݔ．当ݔȁݔ댳ݔnis有恒，时䁪댳ݔg，且等号不能同时成立；当ܽ댳ݔsocȁ䁪ȁݔ＝ݔ香则，ݔnisȁgݔȁݔ＝ݔ设，时䁪ݔ，香当ݔ，时䁃䁪ܽݔ是单调递增函数，且香䁪＝䁪ȁcos䁪댳䁪ȁcosܽ，因而ݔ，时䁃䁪ܽݔ而从；ܽ댳ݔ香有恒时䁃䁪ܽݔ单调递减，从而ݔnis댳gݔȁݔ即，ܽ댳䁪nisȁ＝䁪ݔ．故ݔnisgݔnlgݔ댳ݔݔ．试卷第11页，总11页