2019-2020学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知集合＝‸㈱‸‸，＝‸㈱‸൏，则＝（）A.䁞൏B.C.൏D.൏2.sinn＝（）䁞䁞A.B.C.D.䁞3.已知＝log൏，＝൏，＝ln，则，，的大小关系为（）൏A.B.C.D.4.若，是平面外的两条直线，且，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．则田忌获胜的概率为（）䁞䁞䁞䁞A.B.C.D.൏൏ln㈱‸㈱6.函数‸＝‸的大致图象为（）‸A.B.C.D.7.‸展开式中‸൏的系数为（）A.䁞B.C.nD.䁞䁞8.已知函数‸＝sin‸cos‸，则（）A.‸的最小正周期为试卷第1页，总10页,B.＝‸图象的一条对称轴方程为‸C.‸＝的最小值为D.‸在上为增函数9.如图，已知㈱㈱＝㈱㈱＝䁞，㈱㈱൏，，，香香൏，若‸，‸＝（）A.䁞B.C.൏D.10.近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计䁞生活垃圾．经分拣以后数据统计如表（单位：）：根据样本估计本市生活垃圾投放情况，下列说法错误的是（）“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾䁞䁞可回收物൏൏其他垃圾A.厨余垃圾投放正确的概率为൏൏B.居民生活垃圾投放错误的概率为䁞C.该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．)11.若‸，则下列不等式中正确的是‸‸‸C.‸‸A.B.D.‸12.正方体ܥ䁞䁞䁞ܥ䁞的棱长为，已知平面䁞，则关于截此正方体所得截面的判断正确的是()A.截面形状可能为正三角形B.截面形状可能为正方形C.截面形状可能为正六边形D.截面面积最大值为൏൏试卷第2页，总10页,‸‸‸13.已知函数‸，以下结论正确的是（）‸‸A.൏䁞＝൏B.‸在区间n上是增函数䁞䁞C.若方程‸＝‸䁞恰有൏个实根，则D.若函数＝‸在上有个零点‸＝䁞൏n，则䁞‸‸的取值范围是三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．)14.已知向量满足㈱㈱＝䁞，䁞，则＝________15.“‸，‸‸”为假命题，则实数的最大值为________．䁞16.已知函数‸是定义在上的偶函数，且在上是减函数，＝，则൏不等式log䁞‸的解集为________．17.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为䁞的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到右图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为________；若该六面体内有一小球，则小球的最大体积为________．四、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．)18.在中，内角，，所对的边分别为，，．已知＝䁞，＝n，sinsin＝（1）求，的值：（2）求sin的值．൏䁞19.已知函数‸＝‸‸‸䁞（1）当＝时，求曲线＝‸在点（）处的切线方程；൏（2）若函数‸在‸＝䁞处有极小值，求函数‸在区间上的最大值．20.如图，在棱长均为的三棱柱䁞䁞䁞中，平面䁞平面䁞䁞，䁞＝䁞，为䁞与的交点．试卷第3页，总10页,（1）求证：䁞；（2）求平面䁞䁞与平面所成锐二面角的余弦值．21.在经济学中，函数‸的边际函数‸定义为‸‸䁞‸.某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产‸台‸N的收益函数为‸൏‸‸（单位：万元），成本函数‸n‸（单位：万元），该公司每月最多生产䁞台该医疗器材．（利润函数收益函数成本函数）䁞求利润函数‸及边际利润函数‸；此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少？（精确到′䁞）൏求‸为何值时利润函数‸取得最大值，并解释边际利润函数‸的实际意义．䁞䁞22.已知函数‸＝‸ln‸．‸‸（1）当䁞时，讨论‸的单调性；䁞（2）设函数‸＝‸，若存在不相等的实数‸䁞，‸，使得‸䁞＝‸，证‸明：‸䁞‸䁞൏䁞23.如图，直角坐标系中，圆的方程为‸＝䁞，䁞，，൏为圆上三个定点，某同学从点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子次时，棋子移动到，，处的概率分别为，，．例如：䁞掷骰子一次时，棋子移动到，，处的概率分别为䁞＝，䁞，䁞䁞（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到，，处的概率；（2）掷骰子次时，若以‸轴非负半轴为始边，以射线，，为终边的角的余弦值记为随机变量，求的分布列和数学期望；试卷第4页，总10页,（3）记＝，＝，＝．，其中＝䁞．证明：数列䁞是等比数列，并求．൏试卷第5页，总10页,参考答案与试题解析2019-2020学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.C2.A3.B4.A5.B6.A7.D8.B9.C10.D二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．11.A,D12.A,C,D13.B,C,D三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．14.15.䁞䁞16.൏൏17.,四、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．18.由sinsin＝，可得sincossin＝，䁞因为在中，sin，可得cos，cos，可得nn䁞，由余弦定理＝＝因为＝䁞，䁞所以䁞＝nn，解得＝൏，＝．䁞൏由cos，可得sin，൏sinnn൏由正弦定理，可得sin．sinsin䁞൏䁞19.当＝时，‸‸‸‸䁞，̵‸＝൏‸‸，∴̵＝，又＝䁞，试卷第6页，总10页,∴曲线＝‸在点（）处的切线方程为䁞＝‸，即‸䁞＝．̵‸＝൏‸‸，∵函数‸在‸＝䁞处有极小值，所以̵䁞＝＝，解得＝，൏䁞此时‸‸‸‸䁞，̵‸＝൏‸‸，由̵‸＝，得‸或‸＝䁞，൏当香‸香或x＞1时，f′（x）＞0，൏൏当$${\{}$-\${dfrac\{2\}\{3\}}$所以‸在，䁞上是增函数，在䁞上൏൏是减函数．䁞所以䁞．＝n，൏䁞因为，，൏所以‸的最大值为因为．൏20.证明：∵在棱长均为的三棱柱䁞䁞䁞中，四边形䁞䁞是菱形，∴䁞䁞，∵平面䁞平面䁞䁞，平面䁞平面䁞䁞＝䁞，∴䁞平面䁞，∵平面䁞，∴䁞．∵䁞＝䁞，∴菱形䁞䁞为正方形，在中，，在中，＝，＝，＝，∴，又䁞，䁞䁞＝，∴平面䁞䁞，以为坐标原点，以，，所在直线分别为‸，，轴，建立空间直角坐标系，，䁞，，，䁞，，，设平面䁞䁞的一个法向量‸，‸则，取‸＝䁞，䁞䁞䁞，䁞‸设平面的一个法向量‸，‸则，取‸＝䁞，得䁞䁞䁞，‸设平面䁞䁞与平面所成锐二面角为，试卷第7页，总10页,㈱㈱䁞䁞则cos，㈱㈱㈱㈱൏൏൏䁞∴平面䁞䁞与平面所成锐二面角的余弦值为．൏21.解：䁞由题意知：‸䁞䁞且‸N，‸‸‸൏‸‸n‸‸n‸，‸‸䁞‸‸䁞n‸䁞‸n‸‸．‸每台医疗器材的平均利润‸nn，‸‸当且仅当‸䁞时等号成立．因为‸N，当每月生产䁞台机器时，每台平均约为䁞൏′൏万元，每月生产䁞n台时，每台平均约为䁞൏൏′൏万元，故每月生产䁞台时，每台医疗器材的平均利润最大为䁞൏′൏万元．൏由‸‸，得‸，此时‸随‸增大而增大，由‸‸得‸，此时‸随‸增大而减小，∴‸或൏时，‸取得最大值．‸反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材，利润增量在减少．22.函数‸的定义域为．̵䁞‸‸䁞‸䁞‸䁞‸䁞．‸‸‸‸∵䁞，所以䁞．当䁞䁞，即䁞时，由̵‸得‸䁞或‸䁞，由̵‸得䁞‸䁞，所以‸在䁞，䁞上是增函数，在䁞䁞上是减函数；当䁞＝䁞，即＝时，̵‸，所以‸在上是增函数；当䁞䁞，即时，由̵‸得‸䁞或‸䁞，由̵‸得䁞‸䁞，所以‸在䁞，䁞上是增函数，在䁞䁞上是减函数．综上可知：当䁞时，‸在䁞，䁞上是增函数，在䁞䁞上是减函数；当＝时，‸在上是增函数；当时，‸在䁞，䁞上是增函数，在䁞䁞上是减函数．䁞证明：‸＝‸‸ln‸，‸试卷第8页，总10页,̵‸䁞，‸当时，̵‸，所以‸在上是增函数，故不存在不相等的实数‸䁞，‸，使得‸䁞＝‸，所以．由‸䁞＝‸使得‸䁞ln‸䁞＝‸ln‸，即ln‸ln‸䁞＝‸‸䁞．‸‸䁞不妨设‸䁞‸，则，ln‸ln‸䁞要证‸䁞‸，只需要证{\{}香݂݀‸‸䁞‸䁞‸只需证$${\{}$\${dfrac\{}$\${dfrac\{\{x\}\_\{2\}\}\{\{x\}\_\{1\}\}\,-\,‸1\}\{}$\${dfrac\{\{x\}\_\{2\}\}\{\{x\}\_\{1\}\}\,+\,1\}}$令䁞，‸䁞䁞只需要证$${\{}$\${dfrac\{t\,-\,1\}\{t\,+\,1\}}$即证ln，䁞䁞令ln䁞，䁞̵䁞䁞则．䁞䁞所以在䁞上是增函数，所以䁞．䁞从而ln，故‸䁞‸．䁞䁞䁞䁞䁞䁞䁞䁞䁞䁞䁞䁞23.，，，䁞䁞䁞䁞䁞䁞䁞䁞䁞䁞൏䁞䁞䁞൏൏，൏＝，൏＝；䁞随机变量的可能取值为䁞，，䁞൏൏䁞൏由（1）可得‸＝䁞＝（൏൏），䁞䁞䁞n‸＝（൏൏）（൏൏），则的分布列为‸䁞䁞൏n൏䁞n䁞＝䁞；䁞证明：易得＝，即䁞＝䁞，，䁞䁞时，䁞䁞䁞䁞，又䁞䁞䁞＝䁞，可得䁞＝䁞，试卷第9页，总10页,䁞䁞䁞䁞䁞䁞由䁞䁞，൏൏൏䁞䁞䁞可得数列是首项为，公比为的等比数列，൏䁞䁞䁞䁞䁞䁞䁞䁞则，即，൏൏䁞䁞䁞䁞䁞䁞䁞䁞，又＝䁞＝䁞൏൏䁞䁞䁞故䁞．൏试卷第10页，总10页
