江淮十校2022届高三第一次联考数学（理科）2021.8注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A．B．C．D．2．已知，则（）A．B．C．D．3．设函数，则下列函数中为奇函数的是（）A．B．C．D．4．已知，则函数，有两个零点的概率为（）A．B．C．D．5．已知函数，，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（）,A．B．C．D．6．已知，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．7．《九章数学》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题．“今有墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠同时从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”．如果墙厚20尺，则这两只老鼠相逢所需天数至少为（）A．4天B．5天C．6天D．7天8．的展开式中的系数为（）A．12B．16C．20D．249．已知圆锥的母线长为2，侧面积为，则过定点的截面面积的最大值等于（）A．B．C．3D．210．已知，且，则（）A．B．C．D．11．已知抛物线（），为焦点，直线过焦点与抛物线交于，两点，为原点，的面积为，且，则（）A．2B．4C．6D．812．已知不等式恒成立，则的最小值为（）,A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若，满足约束条件，则的最大值为______．14．已知向量，，若，则______．15．已知双曲线：的一条渐近线与圆：相交于，两点，则______．16．已知正方体的棱长为1，点为底面的四条棱上的动点，则的取值范围为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求角；（2）求的最小值．18．（12分）为庆祝中国共产党建党100周年，学生甲参加校团委举办的“学党史，迎七一”党史知识竞赛，比赛共十道题，答对一题得10分，答错一题扣5分，假设每道题甲能答对的概率为，且每道题答对与否相互独立．（1）求甲答题开始后，直到第4道题才答对的概率；（2）求甲得分的期望是多少？19．（12分）如图，四棱锥中，底面，底面为矩形，，，，为的中点，为的中点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．,20．（12分）已知数列的前项和为，首项为，且．（1）证明：为等差数列；（2）若的首项和公差均为1，求数列的前项和．21．（12分）已知椭圆：（）长轴长为4，在上运动，，为的两个焦点，且的最小值为．（1）求的方程；（2）已知过点（）的动直线交于两点，，线段的中点为，若为定值，试求的值．22．（12分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设函数，讨论零点的个数．江淮十校2022届高三第一次联考数学（理科）试题参考答案与评分细则一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．题号123456789101112选项CABACABBDADC1．C2．A解析：，故选A．3．B解析：为奇函数，故选B．4．A解析：，有2个零点，借助图像得，∴,，故选A．5．C解析：对于A，为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；对于B，，为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于D，，当时，，与图象不符，排除D，故选C．6．A解析：，，，∴，故选A．7．B解析：大老鼠每天打洞的距离成首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠每天打洞的距离成首项为1，公比为的等比数列．∴距离之和为．∵，∴这两只老鼠相逢所需天数至少为5天，故选B．8．B解析：因为，所以的系数为展开式中，的系数之和，由于，（），所以的系数为，故选B．9．D解析：因为轴截面为顶角是的等腰三角形，故当截面为顶角是的等腰三角形时面积最大，此时，故选D．10．A解析：．两边平方可得，所以，所以，所以，因为，所以，，故,选A．11．D解析：抛物线的准线方程：，如图所示，作于，作于，作于，设，因为，，所以，故，所以直线的方程，因为，所以，解得，故选D．12．C解析：构造函数，易知在上单增．∴，两边取对数得在上恒成立，令，易求出．∴，故选C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．19解析：根据不等式组表示的平面区域，将初始直线：向上平移经过点时，取得最大值19．14．解析：，，于是，解得．15．,解析：不妨设双曲线：的一条渐近线方程为，圆：的标准方程为，故．16．解析：不妨设点在棱上，设，则，由勾股定理可得，其几何意义为轴上一动点（）到两定点与的距离之和．易知其最小值即为到的距离，即．又有平面几何知识知，的最大值在或处取得，当时，；当，．故的取值范围为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）由正弦定理得，即，∴由余弦定理得，因为，所以．（2）因为，所以，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为．,18．解：（1）记甲答题时第道题答对为事件（），则事件，，，是相互独立事件，记甲答题开始后，直到第4道题才答对为事件，则，所以；（2）记甲答对的题数为随机变量，总得分为随机变量，则，所以，，于是，所以甲得分的期望是70分．19．解：（1）取中点，则，，又，，∴，．于是为平行四边形．则，又平面，平面，∴平面．（注：其它方法酌情给分！）（2）以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，．设平面的法向量为，从而，取，同理平面的法向量为，设平面与平面所成锐角二面角大小为，,则．20．解：（1）由题意得（）两式相减得从而再两式相减得又∴，于是为等差数列．（注：其它方法酌情给非！）（2）由（1）可得为等差数列，又，∴．于是则．21．解：（1）由题意得，设，长分别为，．则，（当且仅当时取等号）,从而，得，∴，，则椭圆的标准方程为．（注：其它方法酌情给分！）（2）①若直线的斜率不存在，易得；若直线的斜率存在，设其方程为，联立得，易知恒成立，设，，则，且，，要使上式为常数，必须且只需，即。此时为定值，符合题意．综上可知，当时，能使得．22．解：（1），所以，，所以切线方程为；（2）．,所以①当时，，当时，，递减，当时，，递增，因为，，又因为当时，，，所以，所以，令，解得，故取，则，所以存在，使得，有两个零点；②当时，，有一个零点；③当时，，令，解得或，所以当时，，递增，当时，，递减，当时，，递增，因为，令又因为当时，所以，又，存在使有一个零点．综上：当时，有一个零点；当，有两个零点．
