数学期初练习一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的斜率和它在y轴上的截距分别为（）CA．，B．，C．，D．，2.双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为11，则点到的距离为（）BA．1B．21C．1或21D．2或213.椭圆与关系为（）DA．有相等的长轴长B．有相等的离心率C．有相同的焦点D．有相等的焦距4.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在手工课上，老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（）cmA．B．C．D．【详解】由大椭圆和小椭圆扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同，由大椭圆长轴长为40cm，短轴长为20cm，可得焦距长为cm，故离心率为，所以小椭圆离心率为，小椭圆的短轴长为10cm，即cm，由，可得：cm，所以长轴为cm.故选：B.5.已知双曲线的中心为坐标原点，一条渐近线方程为，点在上，则,的方程为()BA．B．C．D．6.已知，，三点，且满足，则直线的斜率取值范围是（）AA．B．C．D．【详解】设动点，因为，则，整理得动点得轨迹为：；设直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离为，所以；7.根据圆维曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知，分别是双曲线的左、右焦点，若从点发出的光线经双曲线右支上的点反射后，反射光线为射线AM，则的角平分线所在的直线的斜率为（）A．B．C．D．解：由已知可得，在第一象限，将点的坐标代入双曲线方程可得：，解得，所以，，又由双曲线的方程可得，，所以，则，,所以，且点，都在直线上，又，所以，所以，设的角平分线为，则，所以直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，故选：B．8.已知圆，过轴上的点存在圆的割线，使得，则的取值范围（）A．B．C．D．【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径，如图所示：连接，交圆分别点，易证△∽△则，因为，故，，所以，又，所以，解得.故选：D.【点睛】本题主要考查圆的方程及圆的几何性质，考查学生分析处理问题的能力，属于难题，解答时将问题灵活转化是关键.一、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符,合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是()ADA．方程能表示平面内的任意直线直线；B．直线的倾斜角为；C．“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件；D．“直线与垂直”是“直线和的斜率之积为”的必要不充分条件10.已知直线：与：相交于､两点，若为钝角三角形，则满足条件的实数的值可能是（）ACA．B．1C．2D．4【详解】圆的圆心为，半径为，由于为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则，设圆心到直线的距离为，则，则，整理可得，解得，且.所以.故选AC.11.已知椭圆的焦距为，焦点为、，长轴的端点为、，点是椭圆上异于长轴端点的一点，椭圆的离心率为，则下列说法正确的是（）A．若的周长为，则椭圆的方程为B．若的面积最大时，，则C．若椭圆上存在点使，则D．以为直径的圆与以为直径的圆内切,【答案】ABD【分析】利用椭圆的定义求出椭圆的方程，可判断A选项的正误；确定点的位置，利用椭圆的离心率公式可判断B选项的正误；设点，由求得，由化简求得椭圆的离心率的取值范围，可判断C选项的正误；利用椭圆的定义可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，的周长为，则，，即椭圆的方程为，所以A正确；对于B选项，当的面积最大时，点在短轴顶点处，又，所以在中，，所以B正确；对于C选项，设点，，，，因为点在椭圆上，则，可得，所以，，得，由于，可得，所以，，即，可得.因此，椭圆的离心率的取值范围是，C选项错误；对于D选项，设的中点为，设圆与圆的半径分别为、，则，则两圆的连心线的距离为，所以两圆内切，D正确.,故选：ABD.【点睛】结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆与圆的半径长分别为和.（1）若，则圆与圆内含；（2）若，则圆与圆内切；（3）若，则圆与圆相交；（4）若，则圆与圆外切；（5）若，则圆与圆外离.12.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为，且，曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点，若，则（）BCA．B．C．D．解：如图所示，设双曲线的标准方程为：，半焦距为.∵椭圆的上顶点为，且.∴，∴，∴.∴.不妨设点在第一象限，设，.∴，.∴.在中，由余弦定理可得：∴.两边同除以，得，解得：.∴,.故选：BC.,三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程为________．4x＋3y－13＝0解析：设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×＝－.又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0.14.焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为.15.已知双曲线右支上存在点P使得到左焦点的距离等于到右准线的距离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是.16.已知点是直线：上的动点，过点作圆：的切线，切点分别为，，则切点弦所在直线恒过定点___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线过点，点是坐标原点（1）若直线在两坐标轴上截距相等，求直线方程；（5分）（2）若直线与轴正方向交于点，与轴正方向交于点，求的最小值及此时的直线方程.（5分）解（1）当过坐标原点时，方程为，即，满足题意；当不过坐标原点时，可设其方程为：，，；,综上所述：直线方程为：或；（2）的最小值为，此时直线方程为：18.疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k米的区域，如图，、分别是经过王阿姨家（点）的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的东偏北方向，以点O为坐标原点，、为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知健康检查点（即点）和平安检查点（即点）是李叔叔负责区域中最远的两个检查点.（1）求出k，并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；（6分）（2）王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在育贤路（直线）上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？并给出理由.（6分）解：（1）易知，王阿姨负责区域边界的曲线方程为：李叔叔家在王阿姨家的东偏北方向，设李叔叔家所在的位置为，离和距离相等故故即故故李叔叔负责区域边界的曲线方程为（2）圆心关于的对称点为则有，解得联立与，可得交点为,答：王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，可选择在地点碰面，距离之和最近.19.已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称，求实数m的取值范围．（12分）解：由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.由消去y，得x2－x＋b2－1＝0.因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0.①将线段AB中点代入直线方程y＝mx＋解得b＝－.②由①②得m＜－或m＞.故m的取值范围为∪.20.如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线分别相切于、两点，另一圆与圆外切，且与轴及直线分别相切于、两点．（1）求圆和圆的方程；（6分）（2）过点作直线的平行线，求直线被圆截得的弦的长度．（6分）解：（1）由于与的两边均相切，故到及的距离均为的半径，则在的平分线上，同理，也在的平分线上，即三点共线，且为的平分线，∵的坐标为，∴到轴的距离为1，即的半径为1，,则的方程为，设的半径为，其与轴的切点为，连接、，由可知，，即．则，则圆的方程为；（2）由对称性可知，所求的弦长等于过点，直线的平行线被圆截得的弦的长度，此弦的方程是，即：，圆心到该直线的距离，则弦长=．考点：直线和圆的方程的应用．21.已知C为圆(x＋1)2＋y2＝12的圆心，P是圆C上的动点，点M(1,0)，若线段MP的中垂线与CP相交于Q点.(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹N的方程；（4分）(2)过点(1,0)的直线l与点Q的轨迹N分别相交于A，B两点，且与圆O：x2＋y2＝2相交于E，F两点，求|AB|·|EF|2的取值范围．（8分）解：(1)由题意知MQ是线段AP的垂直平分线，所以|CP|＝|QC|＋|QP|＝|QC|＋|QA|＝2>|CA|＝2，所以点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴长为2的椭圆，所以a＝，c＝1，b＝＝，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)由(1)可知，椭圆的右焦点为(1,0)，①若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x＝1，则A，B，E(1,1)，F(1，－1)，所以|AB|＝，|EF|2＝4，|AB|·|EF|2＝.②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．,联立可得(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以|AB|＝＝＝.因为圆心O(0,0)到直线l的距离d＝，所以|EF|2＝4＝，所以|AB|·|EF|2＝·＝＝·＝.因为k2∈[0，＋∞)，所以|AB|·|EF|2∈.综上，|AB|·|EF|2∈.22.已知双曲线：的焦距为，直线（）与交于两个不同的点、，且时直线与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.（1）求双曲线的方程；（2分）（2）若坐标原点在以线段为直径的圆的内部，求实数的取值范围；（4分）（3）设、分别是的左、右两顶点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求证：线段在轴上的射影长为定值.（6分）【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析【分析】（1）求得双曲线的，由等边三角形的性质可得，的方程，结合，，的关系求得，，进而得到双曲线的方程；（2）设，，，，联立直线和，应用韦达定理和弦长公式，设的中点为，求得的坐标，由题意可得，应用两点的距离公式，解不等式可得所求范围；（3）求得，的坐标和的坐标，求得的垂直平分线方程和的方程，联立解得,的坐标，求出，即可得证．【详解】解：（1）当直线与的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，，又焦距为，则，解得，，则所求双曲线的方程为.（2）设，，由，得，则，，且，又坐标原点在以线段为直径的圆内，则，即，即，即，则，即，则或，即实数的取值范围.（3）线段在轴上的射影长是.设，由（1）得点，又点是线段的中点，则点，直线的斜率为，直线的斜率为，又，则直线的方程为，即，又直线的方程为，联立方程，消去化简整理，得，又，代入消去，得，即，则，,即点的横坐标为，则.故线段在轴上的射影长为定值.
