江苏省苏州中学2021-2022学年度第一学期期初考试高二数学2021.8.30一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集，集合，，则集合（）A．B．C．D．2．已知为虚数单位，，，复数的共轭复数为（）A．B．C．D．3．已知圆锥的表面积为，且侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为（）A．B．C．D．4．设函数，，则是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数5．设，，成立的充分不必要条件是（）A．B．C．D．6．若，是方程的两根，则的值为（）A．B．C．D．7．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰有一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦（）A．3B．4C．5D．6,8．若，是正常数，，，，则当且仅当时取等号．利用以上结论函数，取得最小值时的值为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分，9．在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法正确的是（）A．成绩在分的考生人数最多B．不及格的考生人数为1000C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D．考生竞赛成绩的中位数为75分10．下列条件能够判定是钝角三角形的是（）A．，，B．C．D．11．在同一平面内，设是给定的非零向量，，，两两不共线，则关于的分解说法正确的是（）A．给定向量，总存在向量，使得B．给定向量和，总存在实数和，使得C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使得,D．给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使得12．在中，，，，点，分别为边，上的两点（不与端点重合），且，将沿折起，使平面平面，则下列说法正确的是（）A．平面B．若为的中点，三棱锥的体积等于三棱锥的体积C．若为的中点，三棱锥的体积为D．上存在两个不同的点，，使得三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若，且，则______14．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为（其中为常数，表示时间，单位：小时，表示病毒个数），则经过5小时，1个病毒能繁殖为______个15．若函数的图象只有一条对称轴落在区间上，则实数的取值范围是______16．已知非零向量，的夹角为，，对任意，有，则______，从而的最小值是______四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）如图，在四边形中，，，．（1）求的长；（2）若的面积为6，求的值．,18．（本小题满分10分）已知复数，，．（1）求实数的值；（2）若，，求的取值范围．19．（本小题满分12分）2019年某饮料公司计划从，两款新配方饮料中选择一款进行新品推介，现对这两款饮料进行市场调查，让接受调查的受访者同时饮用这两种饮料，并分别对两款饮料进行评分，现对接受调查的100万名受访者的评分进行整理得到如下统计图．从对以往调查数据分析可以得出如下结论：评分在的受访者中有20%会购买，评分在的受访者中有60%会购买，评分在的受访者中有90%会购买．（1）在受访的100万人中，估计至少对一款饮料评分在60分以下的受访者人数的最大值与最小值（单位：万人）；（2）如果你是决策者，新品推介你会主推哪一款饮料，并说明你的理由．20．（本小题满分12分）如图，在中，已知，，点为的中点，点，在边，上，且，，交于点．（1）若，求与所成角的余弦值；（2）若，求的值．,21．（本小题满分12分）如图所示，点是边长为2的正方形所在平面外一点，且，平面平面．（1）求证：；（2）若二面角与的大小均为45°，求过，，，，五点的球的表面积．22．（本小题满分12分）对于函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，则称有“※点”．（1）试判断函数在上是否有“※点”，并说明理由；（2）若函数在上有“※点”，求正实数的取值范围．江苏省苏州中学2021-2022学年度第一学期期初考试高二数学答案2021.8.30一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D,【解析】，，故选D2．【答案】B【解析】，故共轭复数为，故选B3．【答案】C【解析】设圆锥的底面半径为，母线为，则①；因为侧面展开图是一个半圆，所以，∴②，把②代入①得，解得，故选C4．【答案】B．【解析】，周期，且为偶函数，故选B5．【答案】A【解析】易判断A正确6．【答案】B【解析】由题意可得，∴，解得；又方程有实根，则，解得，或；综上，的值为．故选：B．7．【答案】B【解析】甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，在①中，靶未被击中应该为甲未击中且乙未击中，所以事件是指事件不发生且事件不发生，∴，故①正确；在②中，事件表示事件和事件至少有一个发生，∴，故②错误；在③中，事件表示事件和事件至少有一个发生，∴，故③正确；,在④中，，故④错误；在⑤中，，故⑤正确；在⑥中，由对立事件概率计算公式得，故⑥正确：在⑦中，由互斥事件概率计算公式得，故⑦错误．故选：B．8．【答案】A【解析】，当且仅当时，即时等号成立，故选A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分，【答案】ABC【解析】A选项，由频率分布直方图可得，成绩在的频率最高，因此考生人数最多，所以选项A正确，B选项，由频率分布直方图可得，成绩在的频率为0.25，因此，不及格的人数为，所以选项B正确，C选项，由频率分布直方图可得，平均分等于（分），所以选项C正确，D选项，因为成绩在的频率为0.45，在的频率为0.3，所以中位数为（分），所以选项D错误，故选：ABC．10．【答案】ABC【解析】对于A：，∴为钝角，A正确；对于B，，故为钝角，B正确；对于C，，C正确；对于D，，故为直角，D错误；故选ABC11．【答案】AB,【解析】利用向量加法的三角形法则，可得给定向量，总存在向量，使，故A正确；利用平面向量的基本定理，可得给定向量和，总存在实数和，使，故B正确：以的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量有交点，这个不一定能满足，故C是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须，故D是错的．故选：AB．12．【答案】ACD【解析】由，，可得平面，故A正确；由，平面平面，可得平面，可设，，，，为的中点时，，可得，，故B错误；为的中点时，，，故C正确；由，可得，化为，解得，可得该方程在有两个不等的正根，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】3．【解析】∴14．【答案】1024,15．【答案】【解析】；对称轴方程，，即，，时，，时，，若在上仅有一条对称轴，则，故答案为16．【答案】1；7【解析】第一空：由|可知，∴；第二空：设，，，，，则；，∴；如图所示，作点关于的对称点，则；则当，，三点共线时，有最小值，此时，，，在中，由余弦定理，∴，即的最小值为7四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．【解析】（1）由题意可知，在中，由余弦定理，，,所以．（2），则．又，所以．18．【解析】（1）因为，，所以．分因为，所以，解得或．又因为，所以．（2）由（1）知，设，由，所以，得，而，∴，∴，故．∴，∵，∴，故．19．【解析】（1）由对款饮料的评分饼状图，得对款饮料评分在60分以下的频率为，所以对款饮料评分在60分以下的人数为万人，同理对款饮料评分在60分以下的人数为万人，所以至少对-款饮料评分在60分以下的受访者人数的最大值为30万人，最小值为20万人．（2）从受访者对，两款饮料购买期望角度看：款饮料购买期望的分布列为0.20.60.90.20.30.5方案“选择倾向指数”的分布列为0.20.60.90.10.350.55,∴，．根据上述期望可知，故新品推介应该主推款饮料．20．【解析】（1）法一（坐标法）：以所在直线为轴，过且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，如图，则，，，，∴，．设与所成角为，∴，法二（基底法）：，，∴；∴；；，,∴（2）∵，，三点共线，可设，同理，可设．由平面向量基本定理可得，解得，∴，，所以的值为．21．【解析】（1）证明∵，平面，平面，∴平面，∵平面平面，平面，∴．（2）过点作平面的垂线，垂足为．由于，则；由于二面角与相等，则到，的距离相等；又因为四边形是正方形，所以点为正方形的中心，即四棱锥是正四棱锥．又因为底面边长为2，二面角为45°，所以．过，，，，五点的球的球心在上，设，从而，解得：，所以球的表面积为．22．【解析】（1）由题意，令，则为的零点，因为，，所以，由零点存在定理可知，函数在区间上至少由1个实根，,即至少由1个实根，所以函数在上有“※点”．（2）若函数在上有“※点”，则存在实数，使得成立，即，整理得，．当时，，不合题意；当时，令，则在上有零点．当时，的图象开口向下，对称轴，在上单调递减，，所以在上恒小于零，不合题意，当时，的图象开口向上，对称轴，由题意只要，即，解得．因为，所以．综上．
