用样本的数字特征估计总体的数字特征 (20分钟 35分)1.某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是( )A.85，85，85B.87，85，86C.87，85，85D.87，85，90【解析】选C.从小到大列出所有数学成绩：75，80，85，85，85，85，90，90，95，100，观察知众数和中位数均为85，计算得平均数为87.2.(2020·天津高考)从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31，5.33)，[5.33，5.35)，…，[5.45，5.47)，[5.47，5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47)内的个数为( )A.10B.18C.20D.36【解题指南】根据直方图确定直径落在区间[5.43，5.47)内的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.【解析】选B.根据直方图，直径落在区间[5.43，5.47)内的零件频率为：(6.25+5.00)×0.02=0.225，则区间[5.43，5.47)内零件的个数为：80×0.225=18.3.已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是=2，方差是，那么另一组数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数和方差分别为( )A.2，B.2，1C.4，D.4，3【解析】选D.平均数为′=3-2=3×2-2=4，方差为s′2=9s2=9×=3.4.如图是七位评委为某跳水运动员打出的分数的茎叶图，则这组分数的中位数和众数分别是8
______. 【解析】把七位评委打出的分数按从小到大的顺序排列为：79，84，84，84，86，87，93，可知众数是84，中位数是84.答案：84，845.已知方差s2=(++…+)-2，由这个公式计算：若10个数的平均数是3，标准差是2，则方差是______，这10个数据的平方和是______. 【解析】由方差的算术平方根是标准差知，s2=22=4，故4=(++…+)-9，所以++…+=130.答案：4 1306.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：成绩/m1.501.601.651.701.751.801.851.90人数23234111分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.【解析】在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是=(1.50×2+1.60×3+…+1.90×1)=≈1.69(m).故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75m，1.70m，1.69m. (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )8
A.甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数B.甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数C.甲成绩的方差小于乙成绩的方差D.甲成绩的极差小于乙成绩的极差【解析】选C.由图知=6，=6，=2，=2.4.2.(2020·全国Ⅲ卷)设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为( )A.0.01B.0.1C.1D.10【解析】选C.因为数据axi+b(i=1，2，…，n)的方差是数据xi(i=1，2，…，n)的方差的a2倍，所以所求数据方差为102×0.01=1.3.如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为sA和sB，则( )A.>，sA>sBB.<，sA>sBC.>，sA<sBD.<，sA<sB【解析】选B.由图易得<，又A波动性大，B波动性小，所以sA>sB.8
4.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为，则( )A.me=m0=B.me=m0<C.me<m0<D.m0<me<【解析】选D.由题目所给的统计图可知，30个数据按大小顺序排列好后，中间两个数为5，6，故中位数为me==5.5.又众数为m0=5，平均值=(3×2+4×3+5×10+6×6+7×3+8×2+9×2+10×2)=.所以m0<me<.5.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分，却记了50分，乙得70分却记了100分，更正后平均分和方差分别是( )A.70，75B.70，50C.75，1.04D.65，2.35【解析】选B.因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为s2，则由题意可得：s2=[(x1-70)2+(x2-70)2+…+(80-70)2+(70-70)2+…+(x48-70)2]，而更正前有：75=[(x1-70)2+(x2-70)2+…+(50-70)2+(100-70)2+…+(x48-70)2]，化简整理得s2=50.二、填空题(每小题5分，共15分)6.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，则8
(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75)的人数是______. (2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为______. (3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为______. 【解析】(1)(0.040×10+0.025×10)×20=13.(2)设中位数为x，则0.2+(x-55)×0.04=0.5，x=62.5.(3)0.2×50+0.4×60+0.25×70+0.1×80+0.05×90=64.答案：(1)13 (2)62.5 (3)647.世界那么大，我想去看看，每年高考结束后，处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出(单位：百元)的情况，相关部门随机抽取了某市的1000名毕业生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：组别[0，20)[20，40)[40，60)[60，80)[80，100]频数22504502908则所得样本的中位数是______(精确到百元). 【解析】设样本的中位数为x，则++·=0.5，解得x≈51，所得样本中位数为51(百元).答案：518.已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy=______. 【解析】由平均数得9+10+11+x+y=50，所以x+y=20，又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=()2×5=10，8
得x2+y2-20(x+y)=-192，(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192，xy=96.答案：96三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知一组数据：125 121 123 125 127 129 125 128 130 129126 124 125 127 126 122 124 125 126 128(1)填写下面的频率分布表：分组频数累计频数频率[120.5，122.5)[122.5，124.5)[124.5，126.5)[126.5，128.5)[128.5，130.5]合计(2)作出频率分布直方图.(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数.【解析】(1)分组频数累计频数频率[120.5，122.5)20.1[122.5，124.5)30.15[124.5，126.5)正80.4[126.5，128.5)40.2[128.5，130.5]30.15合计201(2)8
(3)在[124.5，126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为125.5，事实上，众数的精确值为125.图中虚线对应的数据是124.5+2×=125.75，事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：x=121.5×0.1+123.5×0.15+125.5×0.4+127.5×0.2+129.5×0.15=125.8，事实上平均数的精确值为x=125.75.10.若甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示：(1)求出这两名同学的数学成绩的平均数、标准差.(2)比较两名同学的成绩，谈谈你的看法.【解析】(1)=(65+70+80+86+89+95+91+94+107+113)=89.=[(65-89)2+(70-89)2+(80-89)2+(86-89)2+(89-89)2+(95-89)2+(91-89)2+(94-89)2+(107-89)2+(113-89)2]=199.2，所以s甲≈14.1.=(79+86+83+88+93+99+98+98+102+114)=94.=[(79-94)2+(86-94)2+(83-94)2+(88-94)2+(93-94)2+(99-94)2+(98-94)2+(98-94)2+(102-94)2+(114-94)2]=96.8.所以s乙≈9.8.(2)由(1)知<且s甲>s乙.8
所以乙同学的平均成绩较高且标准差较小，说明乙同学的数学成绩好，且很稳定，故甲同学的数学学习状况不如乙同学的数学学习状况.1.(2020·全国Ⅲ卷)在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且pi=1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( )A.p1=p4=0.1，p2=p3=0.4B.p1=p4=0.4，p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2，p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3，p2=p3=0.2【解析】选B.选项A：E(X)=1×0.1+2×0.4+3×0.4+4×0.1=2.5.所以D(X)=(1-2.5)2×0.1+(2-2.5)2×0.4+(3-2.5)2×0.4+(4-2.5)2×0.1=0.65.同理选项B：E(X)=2.5，D(X)=1.85；选项C：E(X)=2.5，D(X)=1.05；选项D：E(X)=2.5，D(X)=1.45.2.某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如表：班级平均分众数中位数标准差甲班79708719.8乙班7970795.2(1)请你对下面的一段话给予简要分析：甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！”(2)请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议.【解析】(1)由中位数可知，85分排在第25名之后，从名次上讲，85分不算是上游，但也不能单以名次来判断学习成绩的好坏，小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握较好.(2)甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，标准差很大，说明低分也多，两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助；乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分，标准差小，说明学生成绩之间差别较小，成绩很差的学生少，但成绩优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率.8
