用样本估计总体必备知识基础练1.如图是一次考试成绩的频数分布直方图,根据该图可估计,这次考试的平均分数为( ) A.46分B.36分C.56分D.60分答案A解析根据题中频数分布直方图,可估计有4人成绩在[0,20)之间,其考试分数之和为4×10=40;有8人成绩在[20,40)之间,其考试分数之和为8×30=240;有10人成绩在[40,60)之间,其考试分数之和为10×50=500;有6人成绩在[60,80)之间,其考试分数之和为6×70=420;有2人成绩在[80,100)之间,其考试分数之和为2×90=180,由此可知,考生总人数为4+8+10+6+2=30,考试总成绩为40+240+500+420+180=1380(分),平均分数为=46(分).2.某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查,现从中随机抽出100名司机,已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁之间,根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图,利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数是( )A.31.6岁B.32.6岁C.33.6岁D.36.6岁答案C9
解析根据所给的信息可知,在区间[25,30)上的数据的频率为1-(0.01+0.07+0.06+0.02)×5=0.2.故中位数在第3组,且中位数估计为30+(35-30)×≈33.6(岁).3.某工厂新旧两条生产线的产量比为7∶3,为了解该工厂生产的一批产品的质量情况,采用分层抽样方法从两条生产线抽取样本,并观测样本的质量指标值,计算得新生产线质量指标的均值为10,方差为1,旧生产线质量指标的均值为9,方差为2,由此估计,该批产品的质量指标的均值为 ,方差为 . 答案9.7 1.51解析依题意,该批产品的质量指标的均值为10×+9×=9.7,该批产品的质量指标的方差为×[1+(10-9.7)2]+×[2+(9-9.7)2]=×1.09+×2.49=1.51.4.我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 . 答案0.98解析由题意,得经停该高铁站的列车的正点数约为10×0.97+20×0.98+10×0.99=39.2,其中车次数为10+20+10=40,所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为=0.98.5.为了调查甲、乙两个交通站的车流量,随机选取了14天,统计每天上午8:00~12:00各自的车流量(单位:百辆),得如图所示的茎叶图,试求:(1)甲、乙两个交通站的车流量的极差分别是多少?(2)甲交通站的车流量在[10,40]间的频率是多少?(3)甲、乙两个交通站哪个站更繁忙?并说明理由.解(1)甲交通站的车流量的极差为73-8=65,乙交通站的车流量的极差为71-5=66.(2)甲交通站的车流量在[10,40]间的频率为.9
(3)甲交通站的车流量集中在茎叶图的下方,而乙交通站的车流量集中在茎叶图的上方,从数据的分布情况来看,甲交通站更繁忙.关键能力提升练6.(2020济宁高一检测)2019年国庆黄金周影市火爆依旧,《我和我的祖国》《中国机长》《攀登者》票房不断刷新,为了解我校高一年级2300名学生的观影情况,随机调查了100名在校学生,其中看过《我和我的祖国》或《中国机长》的学生共有80名,看过《中国机长》的学生共有60名,看过《中国机长》且看过《我和我的祖国》的学生共有50名,则该校高一年级看过《我和我的祖国》的学生人数的估计值为( )A.1150B.1380C.1610D.1860答案C解析依题意,接受调查的100名学生中有70名看过《我和我的祖国》,故全校学生中约有2300×0.7=1610(名)看过《我和我的祖国》这部影片.7.第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至16日在郑州举行.如右图所示的茎叶图是两位选手在运动会前期选拔赛中的比赛得分,则下列说法正确的是( )A.甲的平均数大于乙的平均数B.甲的中位数大于乙的中位数C.甲的方差大于乙的方差D.甲的极差小于乙的极差答案C解析由于=29,=30,,故A选项错误.甲的中位数为26,乙的中位数为28,26<28,故B选项错误.,故C选项正确.甲的极差为59-11=48,乙的极差为51-12=39,48>39,故D选项错误.故选C.9
8.(多选题)某校对200名考生的数学竞赛成绩进行统计,分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)五组,得到如图所示频率直方图,则根据频率直方图,下列说法正确的是( )A.a=0.01B.估计该校学生数学竞赛成绩的平均数在[70,80)内C.该校学生数学竞赛成绩的中位数大于80D.该校学生数学竞赛成绩不低于80分的有90人答案AB解析频率和10×(2a+0.02+0.025+0.035)=1,得a=0.01,故A正确;平均数等于55×10×0.01+65×10×0.02+75×10×0.035+85×10×0.025+95×10×0.01=75.5,故B正确;设中位数为x,则10×0.01+10×0.02+(x-70)×0.035=0.5,解得x≈75.7,故C错误;数学竞赛成绩大于80分的频率为(0.025+0.01)×10=0.35,200×0.35=70人,故D错误.故选AB.9.空气质量指数(AirQualityIndex,简称AQI)是定量描述空气质量状况的质量指数.空气质量按照AQI大小分为六级:0~50为优;51~100为良;101~150为轻度污染;151~200为中度污染;201~300为重度污染;大于300为严重污染.一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图.利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数(按这个月总共30天计算)为 . 9
答案18解析根据茎叶图,可得该样本中空气质量优的天数为2,空气质量良的天数为4,故该样本中空气质量优良的频率为,估计该地本月空气质量优良的频率为,从而估计该地本月空气质量优良的天数为30×=18.10.对某市“创卫生城”活动中800名志愿者的年龄抽样调查,统计后得到频率分布直方图(如图),但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失,则依据此图可得:(1)年龄组[25,30)对应小矩形的高度为 ; (2)据此估计该市“创卫生城”活动中志愿者年龄在[25,35)内的人数为 . 答案(1)0.04 (2)440解析(1)设年龄组[25,30)对应小矩形的高度为h,则5×(0.01+h+0.07+0.06+0.02)=1,解得h=0.04.(2)由(1)得志愿者年龄在[25,35)内的频率为5×(0.04+0.07)=0.55,故志愿者年龄在[25,35)内的人数约为0.55×800=440.11.某校从高二年级学生中随机抽取60名学生,将期中考试的政治成绩(均为整数)分成六段:[40,50),[50,60),[60,70),…,[90,100]后得到如下频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图,分别求a,众数,中位数;(2)估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均数;(3)用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本,则在[70,90)分数段抽取的人数是多少?9
解(1)由题意可得,(0.01+0.015×2+a+0.025+0.005)×10=1,解得a=0.03.根据频率分布直方图可知[70,80)分数段的频率最高,因此众数为75.又由频率分布直方图可知[40,70)分数段的频率为0.1+0.15+0.15=0.4,因为[70,80)分数段的频率为0.3,所以,中位数为70+×10=.(2)估计该校高二年级学生政治成绩的平均数为(45×0.01+55×0.015+65×0.015+75×0.03+85×0.025+95×0.005)×10=71.(3)因为总体共60名学生,样本容量为20,因此抽样比为.又在[70,90)分数段共有60×(0.3+0.25)=33(人),因此,在[70,90)分数段抽取的人数是33×=11.学科素养创新练12.为提倡节能减排,同时减轻居民负担,某市积极推进“一户一表”工程.非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准:0.65元/度.“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取,其11月到次年4月起执行非夏季标准如下:档位第一档第二档第三档每户每月用电量(单位:度)[0,200](200,400](400,+∞)电价(单位:元/度)0.610.660.91例如:某用户11月用电410度,采用合表电价收费标准,应交电费410×0.65=266.5(元),若采用阶梯电价收费标准,应交电费200×0.61+(400-200)×0.66+(410-400)×0.91=263.1(元).9
为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果,随机调查了该市100户居民的11月用电量,工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中,最后10户的月用电量(单位:度)为88,268,370,140,440,420,520,320,230,380.组别月用电量频数统计频数频率①[0,100]②(100,200]③(200,300]④(300,400]⑤(400,500]⑥(500,600]合计—(1)完成频率分布表,并绘制频率分布直方图;(2)根据已有信息,试估计全市住户11月的平均用电量(同一组数据用该区间的中点值作代表);(3)设某用户11月用电量为x度(x∈N),按照合表电价收费标准应交y1元,按照阶梯电价收费标准应交y2元,请用x表示y1和y2,并求当y2≤y1时,x的最大值,同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于75%的用户带来实惠?9
解(1)频率分布表如下:组别月用电量频数统计频数频率①[0,100]40.04②(100,200]120.12③(200,300]240.24④(300,400]300.3⑤(400,500]260.26⑥(500,600]40.04合计—1001频率分布直方图如图:(2)该100户用户11月的平均用电量=50×0.04+150×0.12+250×0.24+350×0.3+450×0.26+550×0.04=324(度),所以估计全市住户11月的平均用电量为324度.(3)y1=0.65x,y2=由y2≤y1得解得x≤≈423.1.因为x∈N,所以x的最大值为423.9
根据频率分布直方图,x≤423时的频率为0.04+0.12+0.24+0.3+23×0.0026=0.7598>0.75,故估计“阶梯电价”能给不低于75%的用户带来实惠.9
