黄山市2021届高中毕业班第一次质量检测数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致．务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．4．考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卷的相应区域答题．）1．已知集合，则集合A中元素个数为（）A．3B．4C．5D．62．复数（）A．0B．2C．D．3．欧拉公式（i
为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．已知抛物线上点P到顶点的距离等于它到准线的距离，则点P的坐标为（）A．B．C．D．5．从集合中随机抽取一个数a，从集合中随机抽取一个数b，则向量与向量垂直的概率为（）A．B．C．D．6．已知函数的图像在点处的切线与y轴交于点，则点的纵坐标为（）A．7B．C．D．47．已知函数（其中）的部分图象如图所示，则的解析式为（）A．B．C．D．
8．在的展开式中，含项的系数为（）A．B．6C．24D．9．已知，则（）A．B．C．D．10．已知直线与圆交于A，B两点。且A，B在x轴同侧，过A，B分别做x轴的垂线交x轴于C，D两点，O是坐标原点，若，则（）A．B．C．D．11．已知三棱锥的底面是正三角形，，点A在侧面内的射影H是的垂心，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．12．设函数，若存在区间，使在上的值域为，则t的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题．）13．设x，y满足约束条件，则的最小值是____________．
14．已知函数，过点作曲线的切线l，则直线l与曲线及y轴围成的图形的面积为________________．15．已如，且，则的最大值为__________．16．在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足，当且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆．现有双曲线，分别为双曲线的左、右焦点，A，B为双曲线虛轴的上、下端点，动点P满足，面积的最大值为4．点M，N在双曲线上，且关于原点O对称，Q是双曲线上一点，直线和的斜率满足，则双曲线方程是______________；过的直线与双曲线右支交于C，D两点（其中C点在第一象限），设点、分别为、的内心，则的范围是____________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题．）17．（本小题满分12分）设等差数列的前n项和为，首项，且．数列的前n项和为，且满足．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和．18．（本小题满分12分）如图1，正方形，边长为a，E，F分别为中点，现将正方形沿对角线折起，折起过程中D点位置记为T，如图2．
（1）求证：；（2）当时，求半平面与半平面所成二面角的余弦值．19．（本小题满分12分）2020年10月份黄山市某开发区一企业顺利开工复产，该企业生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y（单位：g）与尺寸x（单位：）之间近似满足关系式（b、c为大于0的常数）．按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：尺寸384858687888质量16.818.820.722.42425.5质量与尺寸的比0.4420.3920.3570.3290.3080.290（1）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数试求随机变量的分布列和期望；（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：
75.324.618.3101.4①根据所给统计量，求y关于x的回归方程；②已知优等品的收益z（单位：千元）与x，y的关系为，则当优等品的尺寸x为何值时，收益z的预报值最大？（精确到0.1）附：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，．20．（本小题满分12分）已知椭圆的长轴长是焦距的倍，且过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P是圆心在原点O，半径为的圆O上的一个动点，过点P作椭圆的两条切线，且分别交其圆O于点E、F，求动弦长的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，若，且在时恒成立，求实数a的取值范围．考生注意：请在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，已知点，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点Q是与的公共点．（1）当时，求直线的极坐标方程；（2）当时，记直线与曲线的另一个公共点为P，求的值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，记最小值为k．（1）求k的值；（2）若a，b，c为正数，且．求证：黄山市2021届高中毕业班第一次质量检测数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）题号123456789101112答案CDBABCBACBBD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置上．）13．14．15．16．（3分）（2分）
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．）17．（本小题满分12分）解：（1）设数列的公差为d，，所以为等差数列，公差为因为，即，所以，，3分由可得，两式相减得，又，所以，故是首项为1，公比为3的等比数列，所以．6分（2）设，记的前n项和为．则，8分两式相减得：，所以．12分
18．（本小题满分12分）（1）证明：取中点O，连因为为正方形，所以，又所以平面，而平面，所以．又E，F分别为中点，所以所以5分（2）因为，所以为等边三角形，，又，∴，即．解法1：如图建立空间直角坐标系，则
平面法向量设平面法向量，由，，，记半平面与半平面所成二面角为，则为锐角，所以即半平面与半平面所成二面角的余弦值为．12分解法2：记半平面与半平面交线为，交于H，连接因为，平面，平面所以平面又平面平面所以又由（Ⅰ）知平面，所以，，所以所以即为半平面与半平面所成二面角的平面角．9分
中，，所以即半平面与半平面所成二面角的余弦值为．12分19．（本小题满分12分）解：（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间内，即则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品．1分现从抽取的6件合格产品中再任选3件，则取到优等品的件数，，，3分的分布列为
0123P∴5分（2）解：对两边取自然对数得，令，得，且，6分①根据所给统计量及最小二乘估计公式有，7分，得，故8分所求y关于x的回归方程为9分②由①可知，，则由优等品质量与尺寸的比，即．令，当时，取最大值，即优等品的尺寸，收益的预报值最大．12分20．（本小题满分12分）解：（1）由得，把点代入椭圆方程得，
又，所以，椭圆的标准方程为．4分（2）①设过点P作椭圆的两条切线分别为．当中有一条斜率不存在时，不妨设斜率不存在，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当方程为时，此时与圆O交于点和，此时经过点，且与椭圆只有一个公共点的直线是或，即为或由题目知圆O的方程为：∴线段应为圆O的直径，∴．6分②当斜率都存在时，设点，其中，且，设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，则，消去y得到，∴，，所以，满足条件的两直线垂直．10分∴线段应为圆O的直径，∴，
综合①②知：因为经过点，又分别交圆于点E，F，且垂直，所以线段为圆的直径，∴为定值．11分故的取值范围．12分21．（本小题满分12分）解：（1），①当时，恒成立，即函数在递减；②当时，令，解得，令，解得即函数在上单调递增，在上单调递减．4分综上，当时，函数在递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减．5分（2）由题意，即当时在时恒成立，即在时恒成立．记，则，记，在递增，又，所以时，．7分下面证明：当时，在时恒成立．因为．9分所以只需证在时恒成立．
记，所以，又，所以在单调递增，又所以，单调递减；，单调递增，所以，∴在恒成立．综上可知，时，在时恒成立．12分22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（1）曲线的普通方程是，当时，点Q的坐标为，2分直线的普通方程为，4分所以直线的极坐标方程为；5分（2）当时，点Q的坐标为，6分直线的参数方程为（t为参数），8分代入并化简得，设它的两根为，则．10分注：用平面几何中的切割线定理计算酌情给分．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
答案：略
