黄山市2021届高中毕业班第一次质量检测数学（文科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.4．参考公式：第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卷的相应区域答题.）1.已知集合，则集合中元素个数为A．3B.4C.5D.62.复数A．0B．2C．－2iD．2i3.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.从集合中随机抽取一个数，从集合中随机抽取一个数，则向量与向量垂直的概率为A．B.C.D.5.设某市高三学生体检，学生体重与身高具有线性相关关系，根据一组样本数据,用最小二乘法建立的回归方程为，则下列判断不正确的是A.与具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg高三数学（文科）试题·第10页（共10页）
第6题图D.若该大学某女生身高为160cm,则可断定其体重必为50.29kg6.已知函数(其中)的部分图象如图所示，则的解析式为A.B.C.D.第9题图7.已知是定义在上的奇函数,且当时,,则的值为A．B.C.-3D.38.已知抛物线的焦点为,点为抛物线上一点,过点作抛物线的准线的垂线,垂足为,若,的面积为,则A.2B.4C.D.89.执行如图所示的程序框图，要使输出的S的值小于1，则输入的t值不能是下面的A.4B.5C.6D.710.若存在等比数列,使得,则公比的最小值为A.B.C.D.11.已知分别是双曲线的左右焦点，为轴上一点，为左支上一点，若，且周长最小值为实轴长的4倍，则双曲线的离心率为A.B.C.D.12.已知三棱锥的底面是正三角形,,点在侧面内的射影是的垂心，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的表面积为A．B.C.D.第II卷（非选择题满分90分）二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分.请在答题卷的相应区域答题.）高三数学（文科）试题·第10页（共10页）
13.设，满足约束条件,则的最小值是.14.已知,且,则的最大值为.15.已知函数，若曲线与的公切线与曲线切于点，则.16.在数列中，，其前项和为，用符号表示不超过的最大整数.当时，正整数为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答题卷的相应区域答题.）17.（本小题满分12分）2020年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交叉感染最有效的方式．在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗病毒．某小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位成年人，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如右所示：（1）求的值，并估计这100位居民锻炼时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；序号n1234567锻炼时长m（单位：分钟）12151218253134（2）小邱是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家7天的锻炼时长：（Ⅰ）根据数据求关于的线性回归方程；（Ⅱ）若（是（1）中的平均值），则当天被称为“有效运动日”．估计小邱“宅”家第8天是否是“有效运动日”？参考数据：18.（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若为边上的高，若，求的最大值.高三数学（文科）试题·第10页（共10页）
19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．（1）证明：BE∥平面PAD；（2）求直线BE与平面PAC所成角的大小．20.（本小题满分12分）已知函数，.（1）当时,求的最小值；（2）函数，当时,证明：函数在上有两个零点.21.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为,若椭圆的长轴长等于圆的半径,且是和的等差中项，、为椭圆上任意两个关于轴对称的点,椭圆的右准线与轴的交点为,直线交椭圆于另一点.（1）求椭圆的标准方程；（2）试探求直线是否能过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由.高三数学（文科）试题·第10页（共10页）
考生注意：请在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-4:极坐标与参数方程在直角坐标系中，已知点，曲线的参数方程为（t为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点是与的公共点.（1）当时，求直线的极坐标方程；（2）当时，直线与曲线的另一个公共点为,求的值.23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数，记最小值为.（1）求的值；（2）若为正数，且.求证：高三数学（文科）试题·第10页（共10页）
黄山市2021届高中毕业班第一次质量检测文科数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.）题号123456789101112答案CDBBDBACDABB二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.14.15.16.三、填空题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）（1），…………2分（分钟）．……………………………………………………………4分（2）（Ⅰ）由数据可得，…………………………………………………5分，……………………………………………………………………………………8分关于n的线性回归方程.…………………………………………10分（Ⅱ）当时，，所以估计小邱“宅”家第8天是“有效运动日”.…………………………………12分18．（本小题满分12分）（1）解：，由正弦定理，得，………………………1分由，得.因为，所以,所以，所以，又，得.…………………………………5分高三数学（文科）试题·第10页（共10页）
（2）因为，所以.…6分由余弦定理及，得，…………………………7分由基本不等式，得，…………………………8分即(当且仅当时取等号)，………………………………………10分所以，故当时，的最大值为1.…………12分19．（本小题满分12分）证明：（1）取PD中点G，连结AG，EG，∵E是PC的中点，∴EG∥CD，且EG＝，∴EG∥AB，且EG＝AB，∴四边形ABEG是平行四边形，∴BE∥AG，…………………………………4分∵BE⊄平面PAD，AG⊂平面PAG，∴BE∥平面PAD………………………………6分（2）在平面ABCD中，作BHAC,交AC于点H,连接EH。PA平面ABCD,BH⊂平面ABCDBHPA又BHACBH平面PACBEH为直线BE与平面PAC所成的角。……………………………………8分在PAD中，AG=BE=AG=又B点到直线AC的距离是D点到直线AC距离的BH=sinBEH=直线BE与平面PAC所成的角为……………12分20．（本小题满分12分）(1)解：当,，…………1分当时，；当时，可知在上单调递减，在上单调递增,…………………………3分所以.……………………………………………………4分高三数学（文科）试题·第10页（共10页）
(2)证明:，………6分因为，所以在上单调递增，……7分又因为，所以当时，，当时，……8分所以的最小值为，……………………………………………9分因为，所以在上存在一个零点；……10分h因为，知在上也存在一个零点…11分所以在有两个零点.…………………………………………………12分21．（本小题满分12分）解：(1)由,a,成等差数列得,由题意得圆的半径为,所以,,,所以,得,,所以椭圆的方程为.……3分(2)设……………………………………………………………4分由题意知直线的斜率必存在,设直线的方程为,代入椭圆方程得由得.由韦达定理得……………………………………………6分由题意得直线的斜率必存在,设直线的方程为由对称性易知直线过的定点必在轴上,则当时,高三数学（文科）试题·第10页（共10页）
即在的条件下,直线过定点……………………………………12分22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解：（1）曲线的普通方程是，当时，点的坐标为，…………………………………………………………………2分直线的普通方程为，…………………………………4分所以直线的极坐标方程为；…………………………5分（2）当时，点的坐标为，………………………………………6分直线的参数方程为，…………………………………8分代入并化简得，设它的两根为，则.…………………………………………………………………………………………10分注：用平面几何中的切割线定理计算酌情给分.23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 解：（1）当且仅当，即取“=”.∴最小值为.…………………………………………………………………5分（2）由（1）可得，要证：只需证：高三数学（文科）试题·第10页（共10页）
∵∴同理可得;∴∴即原不等式成立.……………………………………………………………………10分高三数学（文科）试题·第10页（共10页）
