八省联盟·湖北新高考适应性测试卷（一）高三数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：高考范围.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知（，i为虚数单位），则复数（）A.B.4C.D.52.已知集合，，则（）A.B.C.D.3.现把5名扶贫干部分到3个村庄，每个村庄至少分一人，其中甲、乙二人必需分在一起，则不同的分配方案共有（）A.24种B.30种C.36种D.48种4.已知平面上三个不同的点M，F，P，若，则（）A.B.C.D.5.如果3个正整数按照自身顺序或者经过调整顺序可以组成一个等比数列，则称这3个数为一组“等比数”（如：与
视为一组“等比数”）.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，则这3个数构成一组“等比数”的概率为（）A.B.C.D.6.直线被圆所截得的弦的长度的最小值为（）A.4B.5C.6D.37.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是，若图象与图象在上有两个不同交点，，则的值为（）A.或B.或C.或或D.或8.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.下列说法正确的是（）A.函数一定有最小值B.函数的最小正周期为C.已知函数，则函数的单调递增区间是和D.在同一坐标系中函数与的图象关于y轴对称10.下列结论正确的有（）A.若随机变量，，则
B.若随机变量，则C.已知回归直线方程为，且，，则D.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11.若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为2211.设，，则下列结论正确的是（）A.B.C.最大值为D.12.已知曲线，则下列结论正确的是（）A.曲线C的渐近线为B.曲线C与x轴的交点为，C.，是曲线C上任意两点，若，则D.若是曲线C上任意一点，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在三棱锥中，平面，，若，，，则三棱锥外接球的表面积为______.14.二项式的展开式中，所有项均可写成的形式，则当取最大值时，的项的系数k的值为______.（用数字作答）15.在我国东南沿海地区，几乎每年夏秋两季都会或多或少的受到台风的侵袭.所谓的台风，是指一种热带气旋，在气象学上，按世界气象组织定义指气旋中心持续风力在12级到13级（风速在32.7至41.4）的热带气旋称为台风.因为台风风力大，并且还会带来暴雨，往往会给经过地区带来较大损失.在某海滨城市A附近海面有一台风正以20的速度向西北方向移动，据监测台风中心B在该城市正东40处，台风半径为30，台风侵袭的范围为距台风中心30圆形区域，则城市A受该台风侵袭的持续时间为______小时.
16.《孙子算经》是我国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为a，当时，则符合条件的所有a的和为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，，求的面积.18.（本小题满分12分）在①点在函数的图象上；②；③这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.在数列中，为其前n项和，，______，其中.（1）求的通项公式；（2）令下，求数列的前n项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.（本小题满分12分）产品质量是企业的生命线，为提高产品质量，企业非常重视产品生产线的质量，某企业引进了生产同一种产品的A，B两条生产线，为比较两条生产线的质量，从A，B生产线生产的产品中各自随机抽取了100件产品进行检测，把产品等级结果和频数制成了如右的统计图.
（1）有多大的把握认为一级品与生产线有关？（2）生产一件一级品可盈利100元，生产一件二级品可盈利50元，生产一件三级品则亏损20元，以频率估计概率.①分别估计A，B生产线生产一件产品的平均利润；②你认为哪条生产线的利润较为稳定？并说明理由.附：①，.②临界值表：0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.82820.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，，F为的中点.
（1）求证：平面；（2）当长为何值时，二面角的大小为45°.21.（本小题满分12分）已知点E到直线的距离与点E到点的距离之差为1.设点E的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）若为直线l上任意一点，过点P作曲线C的两条切线，，切点分别为M，N，求点F到直线的最大距离.22.（本小题满分12分）已知函数.（1）若，讨论函数的单调性；（2）求函数的极值点.八省联盟·湖北新高考适应性测试卷（一）·高三数学参考答案、提示及评分细则1.C，即，根据复数相等的充要条件，得且，解得，，所以.故选C.2.B易知，又B为全体奇数集，所以.故选B.3.C把甲、乙二人当作一人看待，相当于把4人分到三个村庄，分组方法数为，分配方法数为，根据分步乘法计数原理，共有种分配方案.故选C.4.A因为，所以，所以，所以.故选A.
5.C从9个数中任取3个不同的数，有种情况；其中，构成一组等比数的有，，，共4种情况，故这3个数构成一组等比数的概率.故选C.6.Al的方程可化为，所以l过定点，圆C的方程化为标准方程为，显然点在圆内，当l与垂直时被圆C截得的弦的长度最小.因为，所以弦的长度的最小值为.故选A.7.D反向思考：，将其图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数解析式是，又，，所以，.根据图象可知，两交点关于或对称，∴或.故选D.8.B由，得，所以，令，则，因为函数为上的单调递增函数，所以；反之则不然.故选B.9.CD对于A，当时，，此时，值域为，故A错误；对于B，该函数最小正周期为，故B错误；对于C，，所以由二次函数的图象可知，函数的单调递增区间是和，故C正确；对于D，在同一坐标系中，函数与的图象关于y轴对称，命题正确.故选CD.10.AC对于A，，故A正确；
对于B，，所以，故B不正确；对于C，回归直线方程经过点，将，代入求得，故C正确；对于D，设丢失的数据为x，则这组数据的平均数为，众数为3，当时，中位数为3，此时，解得；当时，中位数为x，此时，解得；当时，中位数为5，此时，解得.所以所有可能x的值和为，故D不正确.故选AC.11.BD由，，则.对A，由于，，所以，所以A错误；对B，，所以B正确；对C，（当且仅当时取“=”），由于，所以“=”不可取，所以C错误；对D，因为，又，，所以D正确.故选BD.12.ACD由，知曲线C由，，三部分组成（两边为双曲线的一部分，中间为圆的一部分，如图所示），两边部分为双曲线，其渐近线为，故A正确；曲线C与x轴的交点为，故B错误；由图可知C正确；由图可知点P到的距离，所以，所以，故D正确.故选ACD.
13.设球的半径为R，由题意知，所以球的表面积为.14.40或80由题意知，，且，则，或，或，或，或，或，.只有当，或，时，取得最大值，故此时含的项的系数是或含的项的系数是.15.1设台风中心B的东北方向上存在点P到城市A的距离为30，在中，设，则，即，化简得，其两根，满足，，所以，即，所以时间（小时），即城市A受台风侵袭的持续时间为1小时.16.8184由题设，，则.当，n不存在；当，n不存在；当，，满足题意；当，n不存在；当，n不存在；故，所以，，所以，共33个数.且这些数组成以8为首项，15为公差的等差数列，所以这33个数的和为.17.解：（1）由题意可得，∴.∵，∴，∵，∴.（2）由正弦定理得，
又，所以，所以，所以.18.解：（1）选择①：由题意知，，当时，.因为，所以时也满足上式，所以.选择②：由，得，所以，因为，所以，所以，又，所以成以2为首项，2为公比的等比数列，所以.选择③：，当时，，与相减得，所以因为，所以成以2为首项，2为公比的等比数列，所以.（2）由（1）知，所以，
所以.19.解：（1）根据已知数据可建立列联表如下：一级品非一级品合计A生产线2080100B生产线3565100合计55145200，所以有97.5%的把握认为一级品与生产线有关.（2）A生产线生产一件产品为一、二、三级品的概率分别为，，.记A生产线生产一件产品的利润为X，则X的取值为100，50，－20，其分布列为X10050－20PB生产线生产一件产品为一、二、三级品的概率分别为，，.记B生产线生产一件产品的利润为Y，则Y的取值为100，50，－20，其分布列为X10050－20
P①；.故A，B生产线生产一件产品的平均利润分别为46元、50元.②；.因为，所以A生产线的利润更为稳定.20.（1）证明：取的中点G，连接.连接交于点N，连接交于点M，连接.因为F为的中点，G是的中点，所以.又，所以E为的中点，所以M为的中点，易得N为的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）解：因为，，由余弦定理得，所以.所以.分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，所以，.设平面的法向量为，则，
即，令得，所以.因为平面的法向量为所以由于二面角大小为45°，所以，即，解得或（舍）.故当时，二面角的大小为45°.21.解：（1）依题意，点E到直线的距离等于点E到点的距离，则点E的轨迹是以F为焦点以直线为准线的抛物线.设其方程为.由题意，，解得.所以曲线C的方程是（2）设切点分别为，.设过曲线C上点的切线方程为，代入，整理得，，又因为，所以.
从而过曲线C上点的切线方程为，即又切线过点，所以得，即.同理可得过点的切线为，又切线过点，所以得，即.即点，均满足，即.故直线的方程为.又为直线上任意一点，故对任意成立，所以令，得.从而直线恒过定点.又曲线C的焦点F的坐标为，所以点F到直线的最大距离为1.22.解：（1）函数的定义域为.若，则，.令，得；令，得，故函数在区间上单调递减，在上单调递增.（2）由于，.
（i）当时，，，令，得，（舍去），所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值点为.（ii）当时，①当时，.令，得，记，若，即时，，所以在上单调递减；在上无极值点；若，即时，则由得，.因为，所以，所以当时，；当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增；在上单调递减.所以在上的极小值点为，极大值点为.②当时，，令，得，（舍去）.
若，即，则当时，，所以在上单调递增；在上无极值点；若，即，则当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.所以在上有极小值点.综上所述，当时，的极小值点为和，极大值点为；当时，的极小值点为；当时，的极小值点为.
