2020北京卷高考数学押题仿真模拟（四）本试卷共8页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.若集合，集合,则（A）（B）（C）（D）2.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（A）（B）（C）（D）3.已知数列满足，则（A）（B）（C）（D）4.将的图象向左平移个单位，则所得图象的函数解析式为（）（A）（B）（C）（D）5.已知直线与圆相交于两点,且为正三角形,则实数的值为14
（A）（B）（C）或（D）或6.设是不为零的实数,则“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件7.在中,,是边的中点,则的取值范围是（A）（B）（C）（D）8.某三棱锥的三视图如图所示,则下列说法中:①三棱锥的体积为②三棱锥的四个面全是直角三角形③三棱锥四个面的面积中最大的是所有正确的说法是（A）①（B）①③（C）①②（D）②③9.已知函数（）的部分图象如图所示，则的值分别为（A）（B）（C）（D）10.已知正方体的棱长为2,分别是棱的中点,点在平面内,点在线段上.若,则长度的最小值为14
（A）（B）（C）（D）14
第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）复数（12）已知公差为1的等差数列中,成等比数列,则的前100项的和为.答案（13）设抛物线的顶点为,经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线和抛物线交于两点,则.答案2（14）函数的最大值为;若函数的图象与直线有且只有一个公共点,则实数的取值范围是.答案（15）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，给出下列四个结论：①f(0)＝0；②若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1；③若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数；④若x＞0时，f(x)＝x2－x，则x＜0时，f(x)＝－x2－x；⑤若f(x)既是奇函数又是偶函数，则满足这样的f(x)有无数多个；其中正确结论的为__________.注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得014
分，其他得3分.答案①②④⑤三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.(本小题满分14分)现在给出三个条件：①；②；③.试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，使其能够确定，并以此为依据，求的面积.在中，角的对边分别为，，,且满足,求的面积.（选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分）解：因为，且,所以,又因为，所以，即：，.若选①②：,则，；14
若选①③：因为,且所以，解得：若选②③：,.而与矛盾，所以不能同时选②③.17.（本小题满分14分）如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是AC，A1B1的中点.（1）证明：；（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.解：方法一：（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC．14
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC．又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F．所以BC⊥平面A1EF．因此EF⊥BC．（2）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．由（1）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）．不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2，EG=.由于O为A1G的中点，故，所以．因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是．方法二：（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，14
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC．如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz．不妨设AC=4，则A1（0，0，2），B（，1，0），，，C(0，2，0)．因此，，．由得．（2）设直线EF与平面A1BC所成角为θ．由（1）可得．设平面A1BC的法向量为n，由，得，取n，故，因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为．（18）（本小题满分14分）14
在某地区,某项职业的从业者共约8.5万人,其中约3.4万人患有某种职业病.为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系,依据是否患有职业病,使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者,记录他们该项身体指标的检测值,整理得到如下统计图:（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a,b的值;（Ⅱ）在该指标检测值为4的样本中随机选取2人,求这2人中有患病者的概率;（Ⅲ）某研究机构提出,可以选取常数,若一名从业者该项身体指标检测值大于,则判断其患有这种职业病;若检测值小于,则判断其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者,按照这种方式判断其是否患有职业病.写出使得判断错误的概率最小的的值及相应的概率（只需写出结论）.解：（Ⅰ）根据分层抽样原则,容量为100的样本中,患病者的人数为人.,.（Ⅱ）指标检测数据为4的样本中,有患病者人,未患病者人.设事件A为“从中随机选择2人,其中有患病者”.则,所以.14
（Ⅲ）使得判断错误的概率最小的.当时,判断错误的概率为.19.（本小题满分15分）已知函数,.（Ⅰ）求曲线在点处的切线的斜率;（Ⅱ）判断方程（为的导数）在区间内的根的个数,说明理由;（Ⅲ）若函数在区间内有且只有一个极值点,求的取值范围.解:（Ⅰ）..（Ⅱ）设,.当时,,则函数为减函数.又因为,,所以有且只有一个,使成立.所以函数在区间内有且只有一个零点.即方程在区间内有且只有一个实数根.（Ⅲ）若函数在区间内有且只有一个极值点,由于,即在区间内有且只有一个零点,且在两侧异号.因为当时,函数为减函数,所以在上,,即成立,函数为增函数;在上,,即成立,函数为减函数,14
则函数在处取得极大值.当时,虽然函数在区间内有且只有一个零点,但在两侧同号,不满足在区间内有且只有一个极值点的要求.由于,,显然.若函数在区间内有且只有一个零点,且在两侧异号,则只需满足:即解得.20．（本小题满分14分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F是抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，点（2，4）在抛物线C2上．（1）求椭圆C1的方程；（2）已知斜率为k的直线l交椭圆C1于A，B两点，M（0，2），直线AM与BM的斜率乘积为﹣，若在椭圆上存在点N，使|AN|=|BN|，求△ABN的面积的最小值．解：（1）∵点（2，4）在抛物线y2=2px上，∴16=4p，解得p=4，∴椭圆的右焦点为F（2，0），14
∴c=2，∵椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，∴=，∴a=2，∴b2=a2﹣c2=8﹣4=4，∴椭圆C1的方程为+=1，（2）设直线l的方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消y可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=，y1y2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=∵M（0，2），直线AM与BM的斜率乘积为﹣，∴k1•k2=•===﹣，解得m=0，∴直线l的方程为y=kx，线段AB的中点为坐标原点，由弦长公式可得|AB|==，∵|AN|=|BN|，∴ON垂直平分线段AB，当k≠0时，设直线ON的方程为y=﹣x，同理可得|ON|==，∴S△ABN=|ON|•|AB|=8，14
当k=0时，△ABN的面积也适合上式，令t=k2+1，t≥1，0＜≤1，则S△ABN=8=8=8，∴当=时，即k=±1时，S△ABN的最小值为．........................1421.（本小题满分14分）给定数列.对，该数列前项的最小值记为，后项的最大值记为，令.（I）设数列为写出的值；（II）设是等比数列，公比，且，证明：是等比数列；（III）设是公差大于的等差数列，且，证明：是等差数列.解：（I），，．----------------3分（II）因为，公比，所以是递减数列．因此，对，．----------------5分14
于是对，．----------------7分因此且（），即是等比数列．----------------9分(III)设为的公差，则对，因为，所以，即------------11分又因为，所以．从而是递减数列．因此（）．----------------12分又因为，所以．因此．所以．．因此对都有，即是等差数列．----------------14分14
