2020北京卷高考数学押题仿真模拟（五）本试卷共8页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.若集合,，则=（A）（B）（C）（D）2.下列函数中是奇函数，并且在定义域上是增函数的一个是（A）（B）（C）（D）3.已知函数,则“”是“为奇函数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件4.函数在区间上的零点之和是（A）（B）（C）（D）5.已知函数是定义域为的奇函数,且,那么（A）（B）（C）（D）6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥四个面中最大面积是（A）（B）（C）（D）14
7.的展开式中，项的系数是（）（A）20（B）40（C）80（D）-1208.若是函数的两个不同的零点,且这三个数适当排序后可成等差数列,且适当排序后也可成等比数列,则的值等于（A）1（B）（C）（D）9.曲线过点的切线条数为（A）条（B）条（C）条（D）条10.正方体的棱长为，底面内任一点，作，垂足为，满足条件.则点的轨迹为（A）双曲线线的一部分（B）椭圆的一部分（C）抛物线的一部分（D）圆的一部分答案：1-5DDABD6-10ACBBC14
第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）设为虚数单位,如果复数满足,那么的共轭复数的模长为.答案（12）已知,且，则的最大值为.答案（13）如右图,正方形中,为的中点,若,则的值为.答案8（14）已知和在定义域内均为增函数,但不一定是增函数,例如当且时,不是增函数.答案（答案不唯一）（15）已知函数的导函数的图像如图所示，给出下列三个结论：①的单调递减区间是；②函数在处取得极小值；③.正确的结论是____________注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.答案①③14
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.(本小题满分14分)已知_________，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为．（Ⅰ）若且，求的值；（2）求函数在上的单调递减区间．在①函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，图象关于原点对称；②向量，；③函数这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解方案一：选条件①14
由题意可知，，，，又函数图象关于原点对称，，，，，（Ⅰ），，；（Ⅱ）由，得，令，得，令，得，函数在上的单调递减区间为．方案二：选条件②，，又，，，（Ⅰ），，；14
（Ⅱ）由，得，令，得，令，得，函数在上的单调递减区间为．方案三：选条件③，又，，，（Ⅰ），，；（Ⅱ）由，得，令，得，令，得．函数在上的单调递减区间为．17.（本小题满分14分）已知为直角梯形，，14
平面，，.（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角的余弦值.解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系.则，，，，.………1分（Ⅰ），，.所以异面直线与所成角的余弦值为.………4分（Ⅱ），.………5分设平面的法向量为，则，.用坐标表示，得，，即，令，得.………7分，.14
所以直线与平面所成角的正弦值为.………8分（Ⅲ）平面的法向量，平面的法向量..由图形可知二面角的大小为钝角，所以二面角的余弦值为.………14分（18）（本小题满分14分）2020年我国全面建成小康社会,其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积30平方米.下表为2007年—2016年中,我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据.单位:平方米.2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年2014年2015年2016年城镇18.6620.2522.792527.128.331.632.934.636.6农村23.324.826.527.930.732.434.137.141.445.8（Ⅰ）现从上述表格中随机抽取一年数据,试估计该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准的概率;（Ⅱ）现从上述表格中随机抽取连续两年数据,求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米的概率;14
（Ⅲ）将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据.记2012—2016年中城镇人均住房面积的方差为,农村人均住房面积的方差为,判断与的大小.（只需写出结论）.（注:方差,其中为,……的平均数）解（Ⅰ）记事件为该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准所以该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准的概率为（Ⅱ）随机抽取连续两年数据:共9次.两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米:共5次.设“两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米”为事件,因此（Ⅲ）.19.（本小题满分15分）已知函数.（Ⅰ）当时,求曲线在点处的切线方程;（Ⅱ）求函数的单调区间;（Ⅲ）当时,求函数在上区间零点的个数.解（Ⅰ）当时,,,,切点,14
切线方程是.（Ⅱ）,令,、及的变化情况如下0增减所以,在区间上单调递增,在区间上单调递减（Ⅲ）法一:由（Ⅱ）可知的最大值为（1）当时,在区间单调递增,在区间上单调递减由,故在区间上只有一个零点（2）当时,,,且因为,所以,在区间上无零点综上,当时,在区间上只有一个零点当时,在区间上无零点14
（Ⅲ）法二:令,令,0减极小值1增由已知所以,当时,在区间上只有一个零点当时,在区间上无零点20．（本小题满分14分）已知椭圆的焦点为和，椭圆上一点到两焦点的距离之和为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆交于两点.当变化时，求面积的最大值（为坐标原点）.解（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，长轴长，，半焦距，.………2分14
椭圆的标准方程为.………3分（Ⅱ），消去并整理，得.………5分判别式，解得.由题意，知.………6分设，，由韦达定理，得，.………7分设直线与轴的交点为，则.所以面积.………9分所以，当，即时，面积取得最大值.………14分14
21.（本小题满分14分）已知集合.对于,定义与之间的距离为.（Ⅰ）,写出所有的;（Ⅱ）任取固定的元素,计算集合中元素个数;（Ⅲ）设,中有个元素,记中所有不同元素间的距离的最小值为.证明:.20.（本小题满分14分）解（Ⅰ）（Ⅱ）当时,当时,写出,14
特别的,.所以元素个数为（Ⅲ）记,我们证明.一方面显然有.另一方面,且,假设他们满足.则由定义有,与中不同元素间距离至少为相矛盾.从而.这表明中任意两元素不相等.从而.又中元素有个分量,至多有个元素.从而.证毕.………14分14
