北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一数学2021.3（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．如果复数的实部与虚部相等，那么（）A．B．1C．2D．43．已知等差数列的前n项和为，，则（）A．0B．C．D．4．已知圆截直线所得弦的长度为，则实数（）A．B．C．D．5．已知双曲线的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为（）
A．B．C．D．6．在中，若，则（）A．B．C．D．7．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥最长的棱长为（）A．2B．C．D．8．在中，“”是“为钝角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P是直线l上的动点．若点A在抛物线C上，且，则（O为坐标原点）的最小值为（）A．8B．C．D．610．在棱长为1的正方体中，P是线段上的点，过的平面与直线垂直当P在线段上运动时，平面截正方体所得的截面面积的最小值是（）A．1B．C．D．
第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．在的展开式中，的系数为_______．（用数字作答）12．已知函数则________；的值域为_______．13．已知向量，且，则向量的坐标可以是_______．（写出一个即可）14．李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A商品获利8元．现计划在“五一”期间对A商品进行广告促销，假设售出A商品的件数m（单位：万件）与广告费用x（单位：万元）符合函数模型．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投入_______万元．15．华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于，令，若存在正整数k使得，且当时，，则称是的一个周期为k的周期点．给出下列四个结论：①若，则存在唯一一个周期为1的周期点；②若，则存在周期为2的周期点；③若则不存在周期为3的周期点；④若，则对任意正整数n，都不是的周期为n的周期点．其中所有正确结论的序号是_________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题13分）已知函数由下列四个条件中的三个来确定：①最小正周期为；②最大值为2；③；④．（Ⅰ）写出能确定的三个条件，并求的解析式；（Ⅱ）求的单调递增区间．17．（本小题13分）如图，在四棱锥中，O是边的中点，底面．在底面中，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．18．（本小题14分）我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困．为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对A，B两个地区2019年脱贫家庭进行简单随机抽样，共抽取500户家庭作为样本，获得数据如下表：A地区B地区2019年人均年纯收入超过10000元100户150户
2019年人均年纯收入未超过l0000元200户50户假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立．（Ⅰ）从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，估计该家庭2019年人均年纯收入超适10000元的概率；（Ⅱ）在样本中，分别从A地区和B地区2019年脱贫家庭中各随机抽取1户，记X为这2户家庭中2019年人均年纯收入超过10000元的户数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，发现这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元．根据这个结果，能否认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年有变化？请说明理由．19．（本小题15分）已知椭圆C的短轴的两个端点分别为，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程及焦点的坐标；（Ⅱ）若点M为椭圆C上异于A，B的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q，试判断以线段为直径的圈是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．20．（本小题15分）已知函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若直线与曲线相切，求证：．21．（本小题15分）设数列，若存在公比为q的等比数列：，使得，其中，则称数列为数列的“等比分割数列”．
（Ⅰ）写出数列：3，6，12，24的一个“等比分割数列”；（Ⅱ）若数列的通项公式为，其“等比分割数列”的首项为1，求数列的公比q的取值范围；（Ⅲ）若数列的通项公式为，且数列存在“等比分割数列”，求m的最大值．北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一数学参考答案2021．3一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B（2）A（3）A（4）D（5）A（6）D（7）C（8）C（9）B（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）（12）1；（13）（答案不唯一）（14）（15）①④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）确定的三个条件是①，②，③．当且时，．若函数满足条件④，则，与矛盾，所以不能满足条件④．所以能确定的三个条件是①，②，③．由条件①，得，又，所以．由条件②，得，又，所以．
由条件③，得，又，所以．所以．经验证，符合题意．7分（Ⅱ）函数的单调递增区间为（）．由（），得（）．所以的单调递增区间为（）．13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）在四边形中，因为，是的中点，则，．所以四边形是平行四边形．所以．又因为平面，平面，所以平面．5分（Ⅱ）连结．因为平面，所以．又因为点是的中点，且，所以．因为，所以四边形是正方形．所以．如图，建立空间直角坐标系，则,．所以．设是平面的一个法向量，
则即令，则．因为平面，所以是平面的一个法向量．所以．由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．13分
（18）（共14分）解：（Ⅰ）设事件：从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均年纯收入超过10000元．从表格数据可知，A地区抽出的300户家庭中2019年人均年收入超过10000元的有100户，因此可以估计为．3分（Ⅱ）设事件：从样本中A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均年纯收入超过10000元，则．设事件：从样本中B地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均年纯收入超过10000元，则．由题可知的可能取值为0，1，2．；；．所以的分布列为所以的数学期望．10分（Ⅲ）设事件为“从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元”．假设样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年没有变化，则由2019年的样本数据得．答案示例1：可以认为有变化．理由如下：比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年发生了变化．所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：
事件是随机事件，比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为，则解得，．所以椭圆的方程为，焦点坐标为和．5分（Ⅱ）方法1：设点的坐标为（），则．过原点且与直线平行的直线方程为．令，得．直线的方程为，令，得．假设以线段为直径的圆过定点，由椭圆的对称性可设定点为．则．因为，所以．因为，所以．则或．
所以以线段为直径的圆过定点，且定点坐标为和．…………………….15分方法2：设点的坐标为（），则．过原点且与直线平行的直线方程为．令，得．直线的方程为，令，得．所以以为直径的圆的半径为．圆心的横坐标为．所以以线段为直径的圆的方程为．因为，所以．以线段为直径的圆过定点等价于对任意的点，方程恒成立．所以解得或所以以线段为直径的圆过定点，且定点坐标为和．…………………….15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）．令，得．当时，，在上单调递减；
当时，和在上的变化情况如下：极小值当时，和在上的变化情况如下：极大值综上，当时，在上单调递减，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．…………………….6分（Ⅱ）由题得．设直线与曲线相切于点，则由①-②得，即．若，则，，直线与曲线不相切，不符合题意，所以．所以．③令，则，所以单调递增．因为，，所以存在唯一使得．将③代入①得．
所以．易知在内单调递减，且，所以在内单调递增．因为，所以，所以．15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）．（答案不唯一）3分（Ⅱ）由，得，所以．令，则单调递减．所以（）的最小值为．所以，即公比的取值范围是．8分（III）首先证明当时，数列不存在“等比分割数列”．假设当时，数列存在“等比分割数列”，则．易知．因为，且，所以．因为，所以．又因为，所以，与矛盾．所以当时，数列不存在“等比分割数列”．所以．当时，数列，存在首项为公比为的数列满足：
．所以时，数列存在“等比分割数列”．所以的最大值为5．15分
