广东省2021届高三12月阶段性质量检测数学试卷满分：150分考试时长：120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A．B．C．D．2．已知复数，则（）A．3B．C．2D．13．《九章算术》是我国古代最著名的数学著作，成书于公元一世纪，分为方田、粟米、方程勾股等九章．卷一《方田》中记载了圆形、扇形、弓形等八种几何图形面积计算方法：如圆的面积计算“径自相乘，三之，四而”．意思是圆的面积为“直径平方，乘以三，再取四分之一”，则这里的圆周率为（）A．3B．3.1C．3.14D．3.14164．实数x，y满足，，则下列不等式成立的是（）A．B．
C．D．5．数学与文化有许多奇妙的联系，如诗词中有回文诗回文联“上海自来水来自海上”，既可以顺读又可以逆读数学中有回文数，如“343，12521”，两位数的回文数11，22，33等，则三位数的偶数回文数的个数为（）A．40B．45C．50D．546．已知点F为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于A，B两点，则的取值范围为（）A．B．C．D．7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（）A．B．4C．D．8．若函数的图象关于直线对称，对任意的实数x都有，且，则（）A．0B．1C．2D．3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分部分选对的得3分．9．方程“”表示焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．10．如图，在三棱锥A-BCD中，，，平面平面BCD，则下列判断中正确的有（）
A．B．平面BCDC．D．图中恰有三对平面互相垂直11．函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若为奇函数，则关于函数，下列结论正确的是（）A．的最大值为2aB．的图象的一条对称轴为C．的图象的一个对称中心为D．的一个递增区间为12．在平面四边形ABCD中，的面积是的面积的3倍，又数列满足，当时恒有，设数列的前n项和为．则下列判断正确的是（）A．数列为等比数列B．数列为递增数列C．数列为等比数列D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数的图象在点的切线与直线垂直，则________．14．冬天是鼻炎和感冒的高发期，某人在冬季里鼻炎发作的概率为0.96，鼻炎发作且感冒的概率为0.84，则此人在鼻炎发作的情况下，感冒的概率为________．15．已知A，B，C是球O球面上的三点，，，且四面体OABC的体积为，则球O的表面积为________．16．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为、，点P是双曲线T
右支上一点的角平分线交x轴于点M，（c为半焦距），且（点O为坐标原点），则双曲线T的离心率为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列的前n项和，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若求数列的前n项和．18．（12分）在中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；（2）现给出三个条件；②AC边上的中线BD长为；③角B的平分线交边AC于M，且．从中选出两个可以确定的条件，写出您的选择，并以此为依据求出的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（12分）随着生活节奏的加快以及生活环境的影响外卖点餐逐渐成为餐饮的快捷消费习惯，由此产生了一批外卖平台已知某外卖点餐平台只做5种价格订制套餐外卖，套餐最低20元，最高80元．现从该平台随机抽取一天中100份点餐进行统计按点餐价格统计结果如下：点餐价格（单位：元）2030406080点餐份数153030205如以这批用户在各点餐价格的频率视为在该点餐价格的概率．（1）若此外卖平台一天的点餐总收入为40000元，试估计该平台一天用户的点餐份数；（2）该平台为了促进消费推出“你吃饭我买单的送红包活动活动．规则为：每点一份套餐付款后即返还一个现金红包，红包有三种：5元红包获奖率为80%，30元红包获奖率为15%，60元红包获奖率为5%．
（i）假设返还的红包金额大于等于付款金额，即为客户吃免费套餐．求该平台在活动期间客户一次消费中吃免费套餐的概率．（ii）若该平台不开展促进消费活动卖出一份套餐利润为50%，设该平台在活动期间卖出一份套餐所得利润为X，求X的期望．20．（12分）如图，在三棱柱中，，，，平面平面ABC，E，F分别为AB，的中点．（1）求证：平面；（2）若二面角的正切值为2，求锐二面角C-EF-B的余弦值．21．（12分）如图所示，已知A，B，C是焦距为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆的中心且，．（1）求椭圆G的方程；（2）过椭圆G上异于顶点的任意一点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，若直线MN与x轴，y轴分别交于点E，F，当的面积最小时求与的面积之比．22．（12分）已知函数，．
（1）讨论函数的单调区间；（2）若对恒成立，求a的取值范围．广东省2021届高三12月阶段性质量检测数学参考答案一、选择题：本题共8小题每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C2．B3．A4．D5．A6．A7．D8．B二、选择题：本题共4小题每小题s分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．CD10．ABD11．AC12．BD三、填空题：本题共4小题每小题5分，共20分．13．14．15．16．四，解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）当时，，，，成等比数列，则．解得，所以，满足等式，．（2），
注：结果化简为，算出正确表达式即可满分．18．解：（1）由正弦定理得，即，，由于，故．（2）若选①②，依题意有，，则可求得，，，，，即，，．若选①③，依题意有，，则，，，，，，．若选②③，，，
，又BM为角平分线，．，平方得，解得．．19．解：（1）设卖出一份套餐所得收入为W元，则．总收入为4000元，平台一天用户的点餐份数为份．（2）（i）吃免费套餐的时间为A，情形有两类：红包为30元且点餐为30元以内；红包为60元且点餐为60元以内，故．（ii）每订一份套餐所得红包期望为，由（1）知该平台平时卖出一份套餐收入期望为40元，元．20．解：（1）取BC中点D，连DE，则，平面，平面，平面，又，平面，平面，
平面C，，平面平面，平面DEF，平面．（2）取AC中点G，连GE，则．在菱形中，，，平面平面ABC，平面ABC，平面ABC，，又，平面，，为二面角的平面角，，，，，，，，以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，．设平面CEF的法向量为，
由得，可取．设平面HEF的法向量为，由得，可取，．故所求锐二面角的余弦值为．21．解（1）因为，，，为等腰直角三角形，，代入椭圆方程得，又，，，椭圆方程为．
（2）设，，，PM方程为，PN方程为，又PM与PN交于点，，，则MN方程为，，，，又，，的最小值为，此时，的面积最小，不妨令，，此时，则MN方程为，
原点O到MN距离为，P到MN距离为，，，，22．解：（1），当时，，在R上单调通增，当时，令，得，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，（2）设，即对恒成立，，令，对恒成立，，①当，即时，，在上单调递增，，，
又，，②当，即时，则存在唯一的使，，当时，，当时，，即时，单调递减，时，单调递增，故，解得，，又而在上单调递增，，解得，综上，实数a的取值范围为．
