湖南省联考联合体2021届高三上学期12月联考数学试卷考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：解答题按新高考范围，小题只考集合，函数，导数，三角函数，向量，不等式，数列，立体几何．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．vsB．C．D．2．棱长为2的正四面体的表面积是（）A．B．C．D．3．已知函数，若，则（）A．2B．1C．2或D．1或4．明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进航海技术——“过洋牵星术”．简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位．其采用的主要工具是牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则（）
A．B．C．D．5．已知，下列不等式不一定成立的是（）A．B．C．D．6．在平行四边形ABCD中，点E，F分别为线段BC，AB的中点，直线AE与直线DF交于点P，则（）A．B．C．D．7．已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数k的个数是（）A．3B．4C．5D．68．已知函数是定义在R上的奇函数，其导函数为，且对任意实数x都有，则不等式的解集为（）A．B．C．D．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列函数中是奇函数，且值域为R的有（）A．B．
C．D．10．设数列的前n项和为，，且，则（）A．B．是等差数列C．D．11．设函数，则下列结论正确的有（）A．的图象关于原点对称B．的图象关于直线对称C．D．12．如图，在正方体中，点E在棱上，且，F是线段上一动点，则下列结论正确的有（）A．B．存在一点F，使得C．三棱锥的体积与点F的位置无关D．直线与平面AEF所成角的正弦值的最小值为第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知向量，，且，则________．14．在三棱柱中，平面，四边形是正方形，且，E在棱上，且，则异面直线与BE所成角的余弦值为________．15．已知，，且，则的最小值是________．16．已知函数，若函数有4个零点，则m的取值范围是________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在递增的等比数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．18．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，的面积是56，且________，求的周长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（12分）随着社会经济的发展，人们生活水平的不断提高，越来越多的人选择投资“黄金”作为理财手段．下面随机抽取了100名把黄金作为理财产品的投资人，根据他们的年龄情况分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）估计把黄金作为理财产品的投资人年龄的中位数；（结果保留整数）（2）为了进一步了解该100名投资人投资黄金的具体额度情况，按照分层抽样的方法从年龄在和的投资人中随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取3人进行调查，X表示这3人中年龄在的人数，求X的分布列及数学期望．20．（12分）菱形ABCD的对角线AC与BD交于点E，，，将沿AC折到的位置，使得，如图所示．（1）证明：；（2）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆C上，且的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C上存在A，B两点关于直线对称，求m的取值范围．22．（12分）已知函数的图象在点处的切线方程为．
（1）证明：．（2）若是的极值点，且．若，且．证明：．高三数学试卷参考答案1．A因为，所以．因为，所以．2．D棱长为2的正四面体的表面积是．3．C当时，，解得；当时，，解得．综上，或．4．A由题知六指为12厘米，则，则．5．D．因为，所以，，所以，则一定成立，排除A；因为，且，所以一定成立，排除B；
因为，所以一定成立，排除C；当，，时，；当，，时，，则不一定成立．6．B如图，因为P，D，F三点共线，所以．因为点E为线段BC的中点，所以，则．因为A，P，E三点共线，所以，所以，解得，故．7．C因为，所以．同理可得，则．
当时，为整数，即满足条件的k的个数为5．8．B设，则．因为，所以，即，故在R上单调递增．因为是定义在R上的奇函数，所以，所以，不等式，即，则．9．AC由题意可得和都是奇函数，且值域为R，是奇函数，但值域为，是奇函数，但值域为．10．ACD当时，．因为，所以，则．当时，，所以，即，即，则数列是首项为1，公比为3的等比数列，
故，．11．BD因为，所以，所以为偶函数，则的图象关于y轴对称，故A错误．因为的图象关于y轴对称，所以的图象关于直线对称，故B正确．当时，，所以，则，故C错误．设，则，从而在上单调递增．因为，所以，即，所以．当时，，所以．因为是偶函数，所以，故D正确．12．ABC如图，连接BD．易证平面BDEF，则，故A正确．在上取一点H，使得，连接，，，易证四边形为平行四边形，
则，．若，易证四边形为平行四边形，则，，从而，，故四边形为平行四边形，于是，故B正确．设，三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，则，即三棱锥的体积与正方体的棱长有关，与点F的位置无关，故C正确．以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，从而，，．设平面AEF的法向量，则，
令，得，从而，即直线与平面AEF所成角的正弦值为．因为，所以，所以，故D错误．13．1由题意可得．因为，所以，解得．14．如图，取的四等分点F（点F靠近），连接EF，BF．易证，则为异面直线与BE所成的角．设，则，，，故．15．16因为，所以，
所以，当且仅当，时，等号成立．16．，即，解得或．由的图象（图略）可得，解得，即m的取值范围是．17．解：（1）由题意可得，解得，．故．（2）由（1）可得，则，故．18．解：若选①，因为，所以，又，所以，所以，即．因为，所以，
即，因为，所以．因为，所以，所以，所以，不妨设，，，则的面积为，解得，从而，，，故的周长为．若选②，因为，所以，因为，所以，所以，所以，即．因为，所以，所以．以下步骤同①若选③，因为，所以，
所以．因为，所以，所以，因为，所以，所以．因为，所以．以下步骤同①．19．解：（1）因为，，所以年龄的中位数在内．设中位数为m，则，解得．（2）由题意可知，100名投资人中，年龄在的有30名，年龄在的有20名，则利用分层抽样抽取的5人中，年龄在的有3名，在的有2名，则X的可能取值为1，2，3，，，，X的分布列为X123P故．
20．（1）证明：因为ABCD是菱形，所以，则，，因为平面PBE，平面PBE，且，所以平面PBE．因为平面PBE，所以．（2）解：取DE的中点O，连接OP，取CD的中点F，连接OF，因为，所以．因为，所以，所以，由（1）可知平面PBE，所以平面平面ABCD，则平面ABCD．故以O为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．由题中数据可得，，，，，则，，，设平面PAB的法向量为，
则，令，得．设平面PCD的法向量为，则，令，得，设平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为，则．21．解：（1）由题意可得，解得，．故椭圆C的标准方程为．（2）设，，线段AB的中点为，因为直线过定点，所以．因为A，B在椭圆上，所以，，所以，
整理得，所以，所以．因为点M在直线上，所以，则．由，得，则或，解得或．故m的取值范围为．22．证明：（1）因为，所以，则，解得，故．令，则．由，得；由，得．在上单调递减，在上单调递增，故，即．（2）由（1）可知，
则．设，则．由，得；由，得．在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递增，．因为，，所以，使得，即．因为，所以由，得，则在上单调递减．设，则．设，则，
因为，且是减函数，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，即在上单调递增，在上单调递减．因为，所以，则在上单调递减，因为，所以，即，即．因为，所以．因为，所以，，且在上单调递增，所以，即，因为，所以，所以，所以．
