A佳大联考·2020年12月高三月考试卷数学班级：________姓名：________准考证号：________（本试卷共4页，22题，全卷满分：150分，考试用时：120分钟）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置；2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效；3．非选择题的作答；用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效；4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设，，则（）A．B．C．D．2．设、，且，则（）A．B．C．D．3．已知，则（）A．B．C．D．
4．人们通常以分贝（符号是）为单位来表示声普强度的等级，强度为的声音对应的等级为（）．装修房屋时电钻的声音约为，室内正常交谈的声音约为，则装修房屋时电钻的声音强度是室内正常交谈的声音强度的（）倍A．B．C．4D．5．在正四面体中，已知棱，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．数列满足，且，则等于（）A．4B．7C．10D．127．如图，在中，，点为边上的一点，且，则的值为（）A．2B．4C．5D．68．已知函数，若关于的方程有四个不等根，则的值是()
A．0B．2C．4D．8二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分、在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9．下列有关命题的说法正确的是（）A．若，则B．若“”为假命题，则“”为假命题C．向量与同向，且，则D．“”是“或”的充分不必要条件10．已知函数，则（）A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．在内单调递增D．将函数的图象向右平移个单位后，可得到的图象11．已知数列的前项和为，对任意的有，且6，则的值可以为（）A．1B．2C．3D．412．正方体中，是棱的中点，在侧面上运动，且满足平面．以下命题正确的有（）
A．侧面上存在点，使得B．直线与直线所成角可能为C．平面与平面所成锐二面角的正切值为D．设正方体棱长为1，则过点，，的平面截正方体所得的截面面积最大为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量，若向量与向量共线，则________14．函数的最小值为________15．四面体中，，平面，，则该四面体外接球的表面积为________16．已知正项等比数列，成等差数列，若存在两项，使得，则的最小值为__________四、解答题：本小题共6小题，第17题10分，第18-22题每小题12分，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知的内角，，的对边分别为，若，．（1）求的值；
（2）若，求的面积．18．从①，②，③三个条件中任选一个补充到下面问题中，已知等差数列的公差为，前项和，递减的等比数列的公比为，若是方程的两个实数根，且，．（1）求和；（2）若_____________，求证：．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．如图，在三棱柱中，平面，点、分别为和的中点，．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．20．由于空气污染严重，某工厂生产了两种供人们外出时便于携带的呼吸装置，其质量按测试指标划分：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现随机抽取这两种装置各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，76][76，82][82，88][88，94][94，100]
装置甲81240328装置乙71840296（1）试分别估计装置甲、装置乙为合格品的概率；（2）生产一件装置甲，若是合格品可盈利30元，若是次品则亏损5元；生产一件装置乙，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损10元．在（1）的条件下，①记为生产一件装置甲和生产一件装置乙所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；②求生产5件装置乙所获得的利润不少于150元的概率．21．已知椭圆的短轴长为，且其左顶点到右焦点的距离为5．（1）求椭圆的方程；（2）点，在椭圆上，且以为直径的圆经过原点，证明：存在定点，使得到直线的距离为定值．22．已知函数．（1）若曲线在点处的切线平行轴，求函数的单调区间；（2）若时，总有，求实数的取值范围．A佳大联考2020年12月高三月考试卷数学参考答案一、单项选择题1．B2．D3．D4．A5．B6．B7．C8．A二、多项选择题
9．AD10．ABC11．BD12．AC三、填空题13．14．15．16．四、解答题17．解：（1）由得得，又，所以（5分）（2）结合余弦定理，，解得所以（10分）（其他方法和思路酌情给分）18．解：（1）(1分）（2分）解一元二次方程2得；（3分）又因为是递减的等比数列的公比，所以（4分）所以（5分）（6分）
（2）记，若选①则，得证（12分）若选②，得证（12分）若选③，，得证（12分）19．解：（1）如图（19-1），作线段中点，连接，，因为是线段中点，点为线段的中点，所以，
因为是线段中点，点为线段的中点，三棱柱是直三棱柱，所以，因为，直线平面，直线平面，所以平面平面，因为平面，所以平面（6分）（2）如图（19-2），以为原点、为轴、为轴、为轴构建空间直角坐标系，则，设是平面法向量．则，即，令，则（8分）设是平面的法向量，则，即，令，则（10分）
令二面角为，则故：结合图像易知，二面角的余弦值为（12分）20．解：（1）装置甲合格的概率为，装置乙合格品的概率为；(3分）（2）①随机变量的所有可能取值为；则，，，；∴随机变量的分布列为
703520数学期望是；（8分）②设生产5件装置乙合格品有=件，测次品有件，依题意得，，解得，∴取或；设“生产5件装置乙所获得的利润不少于150元”为事件，则概率（12分）21．解：（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为；（4分）（2）①若直线与轴垂直，由对称性可知将点代入椭圆方程中，解得；（5分）②若直线不与轴垂直，设直线的方程为，由，消去整理得，
所以，又，则，即，所以，整理得．（10分）即，故存在定．综上所述，存在定点，使得到直线的距离为定值．（12分）22．解：（1）由题意可得：（1分）所以在点处的切线斜率，则（2分）此时．由，得（3分）当时，，在上单调递减．当时，，在上单调递增．（5分）（2）由得：．设，则（6分）．②当，即时，，在上单调递增，
，不合要求，应舍去．②当，即时，，在上单调递减，，满足要求（8分）（3）当，即时，令得．当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．，∴令得（11分）综合得，的取值范围为（12分）
