2021届高三12月三校联考数学试卷2020．12一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．已知，若复数（i是虚数单位）是纯虚数，则（）A．0B．1C．D．23．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为（）A．6B．12C．18D．244．已知向量，，，若，则实数t的值为（）A．8B．6C．4D．5．将函数，其图象的对称轴中距离y轴最近的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．6．函数的部图象可能是（）
ABCD7．已知点P在双曲线（，）的右支上，，分别为双曲线的左、右焦点，若，且是与的等差中项，则该双曲线的离心率为（）A．2B．3C．4D．58．2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山．”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基．某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加30万元，从2020年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为（）A．4041万元B．3492万元C．3005万元D．2993万元二、多项选择题（本题共4小题每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分部分选对的得3分）9．如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断正确的是（）A．1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了B．1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C．2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率D．2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例
10．已知函数的图象的一条对称轴为，其中为常数，且，则以下结论正确的是（）A．函数的最小正周期为B．C．将函数的图象向左平移所得图象关于原点对称D．函数在区间上有66个零点11．已知数列的前n项和是，前n项的积是．则其中正确命题的有（）A．若是等差数列，则是等差数列B．若是等比数列，则是等比数列C．若等差数列，则是等差数列D．若是等比数列，则是等比数列12．在平面直角坐标系中，已知点、，定义为两点A，B的“折线距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称的最小值为点P到直线l的“折线距离”，记作，下列说法正确的是（）A．对任意的两点A，B，都有B．对任意三点A、B、C，都有C．已知点和直线，则
D．已知点，动点满足，则动点P的轨迹围成平面图形的面积是2三、填空题（本题共4小题每小题5分，共20分）13．已知函数，则不等式的解集为________．14．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果．它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年．若用表示三角形数阵的第i行第j个数，则等于________（用数字作答）．A．5050B．4851C．4950D．500015．已知抛物线，斜率为的直线l经过点，且与C交于A，B两点，（其中A点在x轴上方）．若B点关于x轴的对称点为P，则外接圆的方程为________．16．在棱长为4的正方体中，点P分别是棱的中点，点M是底面ABCD上的动点，且，则平面CPM截正方体所得多边形的边数为________，该多边形的周长为________．
四、解答题（本大题共6小题共计70分请在答题卡指定区域内作答解谷时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）在下列三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答．①，且的周长为8，②，且的外接圆半径为2．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足，________，求．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本题满分12分）在各项均为正数等比数列中，前n项和为，已知，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）数列的通项公式记，，数列的前n项和，求不等式的解集．19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，，，，平面ABCD，且，．（1）证明：平面PAD；（2）求二面角B-PC-D的余弦值；（3）求点B到平面ECD的距离________注：第（3）问直接写出答案，不需给出解答过程．
20．（本题满分12分）某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450~950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”．（I）求a的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在，内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列2×2列联表，并判断是否有97．5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？属于“高消费群”不属于“高消费群”合计男女合计
（参考公式：，其中）0.150.100050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8221．（本题满分12分）已知，分别为椭圆的左、右焦点，D，E分别为椭圆的右、上顶点，椭圆的离心率，的面积为0．若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“好点”直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“好点”分别为P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．22．（本题满分12分）已知函数，（其中是自然对数的底数），，．（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．CBCAABDB二、多项选择题（本题共4小题每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）．ABDABACDBCD
三、填空题（本题共4小题每小题5分，共20分）13．14．解：依据二项展开式可知，第i行第j个数应为，．答案：19600．15．16．解：点P是棱的中点，点M是底面ABCD上的动点，，取AB中点Q，则点M在Q上移动，平面CPM即平面CQP，如图所示，取上一点R，使得，则，延长CQ交DA延长线于点T，则点T为平面CQP上的点，连结PT交于点S，则S为平面CQP上点，且由相似可判断，即平面CMP截正方体所得多边形为五边形CQSPR，因为正方体棱长为4，所以周长，答案为：5；．说明：同学们注意观察两个图形，思考一下寻找截面交点交线的不同方法17．解：由可得，，即，
整理得，所以，即．选①，且的周长为8，，所以，从而可得，在中，，所以．18．解：（1），，成等差数列，，即，解得（舍去），或，，，（2）由（1）知，．故．19．解：（1）取PA的三等分点F，连结DF，EF，则．又因为，所以．因为，所以，
四边形CDFE是平行四边形．所以，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．（2）分别以AD，AB，AP为x轴y轴z轴，建立空间坐标系，，，，，，，，，设平面PBC的法向量为，则，令，得，，即，，，设平面PCD的法向量为，，令，则，即，所以，二面角B-PC-D的余弦值为．（3）点B到平面BCD的距离．20．解：（Ⅰ）由题意知，解得，样本平均数为（元）．
（Ⅱ）由题意，从中抽取7人，从中抽取3人，随机变量X的所有可能取值有0，1，2，3．所以随机变量X的分布列为：随机变量X的数学期望．（Ⅲ）由题可知，样本中男生40人，女生60人属于“高消费群”的25人，出以下2×2列联表X0123P属于“高消费群”不属于“高消费群”合计男生152540女生105060合计2575100，所以有97.5%的把握认为概型学生属于“高消费群”与性别有关．21．解：（1）由题意得．故，所以．又．所以，，，
故椭圆C的标准方程为．（2）设点，，则点，，故，，①当直线AB的斜率不存在，即当，时，由以PQ为直径的圆经过坐标原点，可得，故，故，又点在椭圆上，所以，解得，，所以．②当直线AB的斜率存在时，设其方程为，由，整理得，，，又认PQ为直径的圆经过坐标原点，所以，所以，
，所以，所以．又，故，又点O到直线AB的距离，所以，综上可知，的面积是定值1．22．解：（1），，令，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故，又，，
所以，故在上单调递增，（2）由可得，，故，设，则，当时，，单调递增且，故当时，，时，，若，因为，若，因为，且在上单调递增，所以，综上可得，即在上恒成立，设，，，故在上单调递增，所以，故a的范围
