西安市第一中学2021届高三第五次模拟考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题1.命题“若，则”的否命题是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】C【解析】【分析】根据四种命题之间的关系，直接写出否命题即可．【详解】命题“若x＞0，则2x＞1的否命题是：若x≤0，则2x≤1，故选C．【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系应用．2.设全集，集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解对数不等式求出集合的取值范围，然后由集合的基本运算得到答案．【详解】由得且，所以，所以，则【点睛】本题考查对数不等式的解法以及集合的基本运算，属于简单题．3.已知复数满足,则（）A.B.C.D.【答案】D-20-
【解析】【分析】把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由，得．故选．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．4.下列函数中，与函数y＝2x－2－x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( )A.y＝sinxB.y＝x3C.y＝D.y＝log2x【答案】B【解析】【分析】分别判断每个选项中的函数的单调性和奇偶性，即可得到结果.【详解】y＝2x－2－x是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数．而y＝sinx不是单调递增函数，不符合题意；y＝是非奇非偶函数，不符合题意；y＝log2x的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；y＝x3是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数符合题意．所以本题选B.【点睛】本题考查基本初等函数的基本性质，掌握常见的基本初等函数的单调性和奇偶性是解题的关键，属基础题.5.已知，，且，，成等差数列，则有A.最小值B.最小值C.最大值D.最大值【答案】B【解析】-20-
解：由题意可知：，且：，由均值不等式有：，当且仅当时等号成立.本题选择B选项.6.若实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数在何处能够取得最大值和最小值从而确定目标函数的取值范围即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上截距最大，z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，-20-
据此可知目标函数的最小值为：且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是.故选：B.【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.7.在中，，AB＝6，点P满足CP＝2，则的最大值为（）A.9B.16C.18D.25【答案】B【解析】【分析】由向量的加法运算，，由向量的乘法进行化简，可得，由向量数量积的几何意义，可得出当与方向相同时，取最大值，进而求出结果.【详解】，AB＝6，,∴当与方向相同时，取得最大值2×6＝12，的最大值为16.故选：B.【点睛】-20-
本题考查了向量的线性运算、数量积运算、平行四边形法则等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想，属于中档题目.8.关于函数有下述四个结论：①是偶函数；②在区间上递增；③在上有4个零点；④的最大值为2．其中所有正确结论的编号是（）A.①④B.②④C.①③D.①②④【答案】A【解析】【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】为偶函数，故①正确；当时，，它在区间单调递减，当时，，它在区间单调递增，在单调递减，故②错误；当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，-20-
又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④正确，故选：A．9.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.10.将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为（）-20-
A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先利用平移得到的解析式，再利用图象的对称性求出，确定的最小值即可.【详解】平移后解析式为，其图象关于原点对称，则，，，易知最小值为.故选：A【点睛】本题考查三角函数的图象变换，三角函数的性质，属于基础题.11.若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求，根据题意可知在上恒成立，可设，法一：讨论的取值，从而判断是否在上恒成立：时，容易求出，显然满足；时，得到关于m的不等式组，这样求出m的范围，和前面求出的m范围求并集即可，法二：分离参数，求出m的范围即可．【详解】；由已知条件知时，恒成立；设，则在上恒成立；法一：若，即，满足上恒成立；-20-
若，即，或，则需：解得；，综上得，实数m的取值范围是；法二：问题转化为在恒成立，而函数，故；故选C．【点睛】考查函数单调性和函数导数符号的关系，熟练掌握二次函数的图象，以及判别式的取值情况和二次函数取值的关系．12.对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】可看出在定义域内单调递增，可得出是方程的两个不同根，从而得出，通过求导，求出的值域，进而可得到的范围．【详解】解：在定义域内单调递增，，-20-
即，即是方程的两个不同根，∴，设，∴时，；时，，∴是的极小值点，的极小值为：，又趋向0时，趋向；趋向时，趋向，时，和的图象有两个交点，方程有两个解，∴实数的取值范围是．故选B．【点睛】本题考查了对倍值函数的理解，根据导数符号判断函数极值点的方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．第Ⅱ卷二、填空题13.设函数，则_____【答案】4【解析】【分析】先根据函数的局部周期性可得，再根据上的解析式可求出的值.【详解】．故答案为：4.【点睛】-20-
本题考查分段函数的函数值的计算，注意根据函数的局部周期性把所求的值转化为函数在上的某点处的函数值，本题属于基础题．14.已知向量满足，，，则=_______.【答案】【解析】【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义，求出与的夹角余弦值．【详解】向量满足，，，，，.故答案：【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算及向量的模，向量夹角的余弦值，属于基础题.15.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．【答案】【解析】【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.-20-
16.已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是__．【答案】【解析】【分析】将不等式分离常数得到，结合基本不等式求得的最大值，由此求得的取值范围.【详解】对任意x∈N*，，即恒成立，即.设，则，当且仅当时等号成立，又g(2)＝6，g(3)＝，∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝，∴，∴，故a的取值范围是.故答案为：【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求解不等式恒成立问题，属于中档题.-20-
三、解答题（一）必考题17.在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，向量=(cos(A—B)，sin(A—B)),向量=(cosB，—sinB),且(1)求sinA值；(2)若求角B的大小及向量在方向上的投影.【答案】（1）；（2）,.【解析】【分析】（1）由，进行数量积的坐标运算，化简易得，从而可得；（2）由正弦定理求出，可得B．再由余弦定理求出c的值，所以在方向上的投影值为，可求．【详解】（1）由，得，得；又，所以；（2）由正弦定理得，得，得；由余弦定理得，即，解得或（舍去）；在方向上的投影值为．考点：向量的数量积的坐标运算，正余弦定理,投影的概念．18.已知中，角所对的边分别为，，且满足.（1）求的面积；-20-
（2）若，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由诱导公式和二倍角公式可得，从而得三角形面积；（2）由余弦定理得，从而可把用角表示出来，由三角函数性质求得最大值．【详解】（1）在中，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴.（2）∵，∴，∴，∴，∴当时，取最大值.【点睛】本题考查二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦公式，余弦定理．本题关键是，这样可把表示为角的函数，从而求得最值．19.已知等差数列的前n项和为，且的等比中项为4.（1）求数列的通项公式；-20-
（2）设，求数列的前n项和为.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）等差数列的公差设为，由等比数列的中项性质和等差数列的性质、通项公式可得公差，进而得到所求通项公式；（2）由等差数列的求和公式，化简可得，，由数列的裂项相消求和化简可得所求和．【详解】（1），解得.由的等比中项为4，可得，解得.设等差数列的公差为d，则.故数列的通项公式为.（2）由（1）知，所以，所以.故.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式、等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题．20.已知数列满足：是公比为2的等比数列，是公差为1的等差数列．（1）求，的值；-20-
（2）试求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题可得，，即可求出，；（2）可得，利用错位相减法即可求出.【详解】（1）构成公比为2的等比数列，∴，∴，又构成公差为1的等差数列，∴，解得；（2），∴，，，两式作差可得：，∴．【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；-20-
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.21.已知函数，.（1）当时，求的单调区间；（2）当，讨论的零点个数；【答案】（1）单调递减区间为，；单调递增区间为，；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性，只研究在上单调性，利用导数根据其函数值的正负，即可求得函数的单调区间；（2）对参数进行分类讨论，根据函数的单调性以及最值，即可求得函数的零点个数.【详解】∵∴为偶函数，只需先研究,,,当，，当，，所以在单调递增，在，单调递减,所以根据偶函数图象关于轴对称，得在单调递增，在单调递减，故单调递减区间为：，；单调递增区间为：，.-20-
（2）,①时，在恒成立,∴在单调递增又，所以在上无零点②时，，使得，即.又在单调递减，所以，，，所以，单调递增，，单调递减，又，（i），即时在上无零点，又为偶函数，所以在上无零点，（ii），即.在上有1个零点，又为偶函数，所以在上有2个零点，综上所述，当时，在上有2个零点，当时，在上无零点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及零点个数，属综合中档题.（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为-20-
．（1）写出曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于、两点，且的长度为，求直线的普通方程．【答案】（1）；（2）和.【解析】【分析】（1）将代入曲线极坐标方程，化简后可求得对应的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线的倾斜角或斜率，由此求得直线的普通方程.【详解】（1）将代入曲线极坐标方程得曲线的直角坐标方程为，即；（2）将直线的参数方程代入曲线方程：，整理得设点、对应的参数为、，解得，，则，得，因为，得或，直线的普通方程为和.【点睛】本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查利用直线的参数方程来求弦长有关的问题，属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数（1）当时，解不等式；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.-20-
【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值后分区间解不等式，再求并集；（2）转化为对任意的，恒成立，后再构造函数，利用函数的单调性列不等式可得结果．【详解】（1）当时，，所以，或或，解得所以不等式的解集为（2）由题意对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立，令，在上递增，在递减，在上递减，在上递增，要使对任意的，恒成立，-20-
只需可得【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．-20-
