恩施州2022届高三年级第一次教学质量监测考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在出答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A.B.C.D.2.已知，则复数的虚部是（）A.B.C.1D.3.已知等差数列满足，，则数列的前7项和为（）A.6B.9C.12D.144.甲、乙、丙三人计划参加学校趣味运动会中的陀螺、蹴球、高脚竞速三个比赛项目，由于时间关系，每个人只能随机选择参加一个项目，则甲、乙、丙三人恰好参加同一个比赛项目的概率为（）A.B.C.D.5.已知直线与圆相交于，两点，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B．必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.双曲线（，）的左顶点为，右焦点为，过点
的直线交双曲线于另一点，当时满足，则双曲线离心率的取值范围是（）A.B.C.D.7.圆内接四边形中，，是圆的直径，则（）A.12B.C.20D.8.牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度满足，其中是环境温度，称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃.经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（）（参考数据：，，）A.4分钟B.5分钟C.6分钟D.7分钟二、多项选择：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若，则有（）A.B.C.D.10.已知函数，则以下说法正确的是（）A.是偶函数B.在上单调递增C.当时，D.方程有且只有两个实根11.已知函数，则以下叙述正确的是（）A.若，则（）B.的最小正周期为
C.在上单调递减D.的图像关于（）对称12.在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是（）A.当时，平面B.当时，存在唯一点使得与直线的夹角为C.当时，长度的最小值为D.当时，与平面所成的角不可能为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中的系数为______.14.若对任意的实数，函数的值都取，，中的最小值，则的最大值为_______.15.设点是椭圆上的点，，是该椭圆的两个焦点，若的面积为，则_______.16.一块边长为4的正方形纸板，如图所示，是的中点，现将该纸板沿，折起，使，重合，得到一个四面体，则该四面体的外接球的体积为______.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）
已知为数列的前项和，且，数列满足.（1）求，（2）若，求数列的前项和.18.（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，.（1）求；（2）若，求的中线的最小值.19.（12分）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，为的中点.（1）求证平面；（2）若点为的中点，线段上是否存在一点，使得平面平面?若存在，请确定的位置；若不存在，请说明理由.20.（12分）已知抛物线（）的顶点为，直线与拋物线的交点（异于点）到点的距离为，（1）求的标准方程；（2）过点作斜率为（）的直线与交于点（异于点），直线关于直线对称的直线与交于点（异于点），求证：直线过定点.21.（12分）
某企业创新形式推进党史学习教育走深走实，举行两轮制的党史知识竞赛初赛，每部门派出两个小组参赛，两轮都通过的小组才具备参与决赛的资格，该企业某部门派出甲、乙两个小组，若第一轮比赛时两组通过的概率分别是，，第二轮比赛时两组通过的概率分别是，，两轮比赛过程相互独立.（1）若将该部门获得决赛资格的小组数记为，求的分布列与数学期望；（2）比赛规定：参与决赛的小组由4人组成，每人必须答题且只答题一次（与答题顺序无关），若4人全部答对就给予奖金，若没有全部答对但至少2人答对就被评为“优秀小组".该部门对通过初赛的某一小组进行党史知识培训，使得每个成员答对每题的概率均为（）且相互独立，设该参赛小组被评为“优秀小组”的概率为，当时，最大，试求的值.22.（12分）已知函数.（1）判断的单调性；（2）设方程的两个根为，，求证：.
恩施州2022届高三年级第一次教学质量监测考试数学试卷参考答案一、单项选择题12345678CDDAABBC二、多项选择题9101112BCABDBCDACD三、填空题13.14.415.16.四、解答题17.解答（1），，…………2分，；…………4分（2），…………5分当时，.…………6分当时，①②两式相减得…………8分，即.又当时也满足上式则数列的前项和为…………10分18.解答
（1）由题意得…………2分，……4分则；…………6分（2）由题意，则……7分…………10分则，即的中线的最小值为.…………12分19.解答（1）证明：平面，所以，又，，所以面，又，所以面，面，.又，为的中点，所以，，所以平面.…………4分（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.…………5分则.设（），所以，点坐标为.设平面的法向量为，则，，
即，…………8分可取，…………10分由（1）可知为平面的一个法向量，若平面平面，则，解得.即时平面平面……12分（若学生取（），还需说明当时，平面平面，显然不垂直）20.解答（1）可求得交点坐标为，所以，，抛物线的标准方程为…………4分（2）证明：设，，将代入抛物线方程得，所以，.………………6分设直线，同理，，
因为与直线关于直线对称，由图形对称性，计算可得.……8分所以，，又，……10分所以直线的方程为，化简有，所以恒过定.…………12分21.解答（1）设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件，.则，.…………2分由题意的取值可能为0，1，2.则，，.…………5分那么的分布列为：012.…………6分（2）由题意，小组中2人答对的概率为，3人答对的概率为，…………8分
则.……9分，…………（10分）令得，，，所以在上，单调递增，在上，单调递减.…………11分故时，最大.…………12分22.解答（1），，那么，，所以在单调递减，在单调递增.…………2分（2）令，，则，在单调递减，单调递增，又，不妨设…………4分先证明.只要证明，即只要证明.因为令，，则…………6分在单调递减，所以.从而必有…………8分下面证明.因为，，所以，又，所以，
…………10分令，，，令，，在上单调递增，在上单调递减，故.综上，.…………12分
