广州市荔湾区2021学年高三调研测试数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后、将答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数（其中为虚数单位），则的共辄复数为（）A.B.C.D.2.已知全集，设集合，，则图中阴影部分表示的集合是（）A.B.C.D.3.若圆台的下底面半径为4，上底面半径为1，母线长为5，则其体积为（）A.B.C.D.4.若点在直线上，则的值等于（）A.B.C.D.5.已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点是其一条渐近线上一点，且以线段为直径的圆经过点，则点的横坐标为（）A.B.C.D.
6.设等差数列的前项和为，若，，则等于（）A.-3B.-12C.-21D.-307.一个盒中装有大小相同的1个黑球与2个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出，则在此过程中恰有1次取到黑球的概率为（）A.B.C.D.8.已知函数，，曲线上总存在两点，，使得曲线在M，N两点处的切线互相平行，则的取值范围为（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列说法中正确的是（）A.若将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，则方差恒不变B.若一组数据1，，2，3的平均数是2，则这组数据的众数和中位数都是2C.设随机变量服从正态分布，若，则D.对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则实数的值是10.已知向量，，则下列说法正确的是（）A.若，则的值为-2B.的最小值为1C.若，则的值为2D.若与的夹角为钝角，则的取值范围是且11.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.B.
C.在区间上单调递增D.若，则12.已知直三棱柱中，，，为的中点.点满足，其中，则（）A.对时，都有B.当时，直线与所成的角是30°C.当时，直线与平面所成的角的正切值D.当时，直线与相交于一点，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则___________.14.若，则的值为___________.15.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，则后物体的温度（单位：°C）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，现有52°C的物体，放在12°C的空气中冷却，2min以后物体的温度是32°C，则再经过6min该物体的温度可冷却到___________.16.已知椭圆的左焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线l与椭圆交于A，B两点（点B在x轴上方），且，则椭圆的离心率为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知等比数列的前项和为，，且，公比.（1）求数列的通项公式；（2）令，求和：.18.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形；平面平面，，，M是线段PC的中点.（1）求证：平面BMD；（2）求二面角的大小.19.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，点D是边AC的中点，.（1）证明：；（2）求：20.某地投资兴建了甲、乙两个加工厂，生产同一型号的小型电器，产品按质量分为A，B，C三个等级，其中A，B等级的产品为合格品，C等级的产品为不合格品.质监部门随机抽取了两个工厂的产品各100件，检测结果为：甲厂合格品为95件，甲、乙两厂A级产品分别为20件、25件，两厂不合格品共20件.（1）根据所提供的数据，判断是否有95%的把握认为产品的合格率与生产厂家有关?（2）每件产品的生产成本为50元，每件A，B等级的产品出厂销售价格分别为100元、80元，C等级的产品必须销毁，且销毁费用为每件5元.用样本的频率代替概率，试比较甲、乙两厂盈利的大小.附：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82821.已知抛物线：，点M在抛物线C上，点N在x轴的正半轴上，等边
的边长为.（1）求C的方程；（2）若平行轴的直线交直线OM于点P，交抛物线C于点，点T满足，，判断直线TM与抛物线C的位置关系，并说明理由.22.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，函数存在两个零点，求证：.2021学年高三调研测试数学参考答案与评分标准评分说明：1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同。可根据试题主要考查的知识点和郎力比照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择顾：本大题共8小题，每小题5分，共4分.题号12345678答案BDCACDCA二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.题号9101112答案ABDBCDADACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.-314.-11514.5℃16.四、解答题：本题共6小题，共70分.17.解：（1）由为等比数列，，，则
由，解得，故.（2）由（1）得，所以由，所以是以-2为公比的等比数列所以所以的和为.18.证明：（1）连AC，OM因为底面ABCD是平行四边形，所以O为AC中点又M是PC中点，所以又平面BMD，平面BMD所以平面平面BMD.（2）取AD的中点N，连PN因为，所以，又平面平面ABCD所以平面ABCD如图，以O点为原点分别以NA、NB、NP所在直线为轴、轴、轴数立空间直角坐标系
由，，得，，则，，，，，，所以，，，设平面MBC的法向量为所以，即令，则，设平面的法向量为所以，即令，则，设平面MBC与平面BMD所成的二面角为.所以所以二面角的大小为90°19.（1）由题设，
由正弦定理知：，即，∴，又，∴，得证.（2）由题意知：，，∴同理，∵，∴，整理得，由余弦定理知：（说明：公式1分，代入1分）综上，.20.解：（1）2×2列联表如下合格品次品合计甲厂955100乙厂8515100合计18020200因为（说明：公式1分，不等号部分1分）所以有95%的把握认为产品的合格率与生产厂家有关.（2）对于甲厂，抽到的100件产品中有A等级产品20件，B等级产品75件，C等级产品5件，设生产一件产品的利润为X元，则X可能取很的值为50，30，-55.
X的分布列为5030-550.20.750.05因为，对于乙厂，抽到的100件产品中有A等产品25件，B等级产品60件，C等级产品15件，设生产一件产品的利润为元，则可能取得的值为50，30，-55.的分布列为5030-550.250.60.15因为，所以甲厂的盈利比乙厂大.21.解：等边的边长为，得，（说明：横纵坐标各一分）代入，解得所以，C的方程为.（2）相切.理由如下；由（1）得C的方程为，.由等边得，直线的方程为不妨设直线的方程为，则，设点，从而，，，由得，
由得，，整理得所以由题知.设直线的斜率为，则则直线的方程为，即与抛物线联立得整理得从而所以直线与抛物线相切.22.解：（1），∴，①当，即时，，在R上单调递增；②当，即时，令，得当，，单调递减；当，，单调递增.综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减.在上单调递增（2）解法一：当时，由得
两式相减得，因为，故.要证，只需证.两边同除以的得令，故只需证即可.令，，令，，当，，故在上单调递减，故故在上单调递增，故，故原命题得证.解法二：当时，由得令，，，即两式相减得，要证，即只需证，即证即，即，令，只需证即可.令，
当时，，故在上单调递增，故，故原命题得证，因此原不等式成立。
