惠州一中2023届高二上学期第一次考试数学试卷卷面总分：150分；考试时长：120分钟一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，或，则A.或B.C.D.或2.设p：，，则使p为真命题的一个充分不必要条件是 A.B.C.D.3.若，的值为A.B.C.D.4.直三棱柱中，，，则直线与所成角的大小为A.B.C.D.5.如果向量，4，，共面，则实数m的值是A.B.1C.D.56.若，，，则事件A与B的关系是 A.事件A与B互斥B.事件A与B对立C.事件A与B相互独立D.事件A与B相互斥又独立7.如图，已知是水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边AB上的高为 A.3B.6C.D.8.如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为A.B.C.D.第8页，共4页
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知两条不同的直线a，b与三个不同的平面，，给出下面四个命题：甲若，，，则；乙若，，，则；丙若，，，则；丁若，，，则．其中错误的是 A.甲B.乙C.丙D.丁2.给出下列命题，其中正确的命题是A.若，则是钝角B.若为直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量C.若，则可知D.在四面体中，若，，则3.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险。各种保险按相关约定进行参保与理赔该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如图所示的统计图，以下四个选项中，说法正确的有 A.54周岁以上客户人数最少B.周岁客户参保总费用最少C.丁险种更受客户青睐D.30周岁以上的客户约占参保客户的4.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是 A.函数的图象关于点对称B.函数的图象关于直线对称第8页，共4页
C.函数在单调递减D.该图象向右平移个单位可得的图象三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知，那么 ．2.i是虚数单位，复数 ．3.函数的值域是 ．4.已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系为坐标原点下的“仿射”坐标，记作已知，，则 ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）5.已知函数．求的最小正周期求在区间上的最大值和最小值．6.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、已知，，．求sinC的值；在边BC上取一点D，使得，求的值．7.新冠肺炎疫情在我国爆发以来，我国举国上下众志成城、团结一致抗击新冠肺炎疫情，经过几个月的努力，我国的疫情已经得到有效控制．为了解大众对新冠肺炎相关知识的掌握情况，某网站举行“新冠肺炎”防控知识竞赛网上答题，共有120000人通过该网站参加了这次竞赛，为了解竞賽成绩情况，从中抽取了100人的成绩进行统计，其中成绩分组区间为，，，，，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题：求m的值；第8页，共4页
成绩不低于90分的人就能获得积分奖励，求所有参赛者中获得奖励的人数；根据频率分布直方图，估计这次知识竞赛成绩的平均分．1.如图，长方体的底面ABCD是正方形，点E在棱上，．证明：平面；若，求二面角的正弦值．2.如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，M为线段AD上一点，，N为PC的中点．证明：平面PAB；求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．3.已知函数，函数．若的定义域为R，求实数m的取值范围；当时，函数的最小值为1，求实数a的值．第8页，共4页
2023届高二数学第一次月考试卷【答案】1.A2.A3.A4.B5.B6.C7.D8.C9.CD10.CD11.ACD12.BD13. 14. 15. 16. 5.解：向量，4，，共面，存在x，y，使得，，，解得，，．实数m的值是1．故选：B．6.解：，．事件A与B相互独立，不是互斥、对立事件．故选：C．8.解：作出该圆锥的侧面展开图，如图所示： 该小虫爬行的最短路程为，由余弦定理可得，，设底面圆的半径为r，则有，解得．这个圆锥的高为，这个圆锥的体积为．故选C．15.解：由，得：当时，，当且仅当，即，即时，等号成立．根据“双勾函数”模型，有在单调递减；在单调递增，第8页，共4页
所以在单调递减；在单调递增，又；．所以当时，的值域为故答案为16.解：故答案为：．17.解：因为，所以的最小正周期为因为，所以．故当，即时，取得最大值当，即时，取得最小值． 18.解：因为，，，由余弦定理可得：，由正弦定理可得，所以，所以；因为，所以，在三角形ADC中，易知C为锐角，由可得，所以，因为，所以，所以． 19.解：由频率分布直方图的性质得：第8页，共4页
，解得．成绩在之间的频率为，所有参赛者中获得奖励的人数为：人．平均数的估计值为：分． 20.证明：长方体中，平面，平面，，，，平面平面解：以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，平面，平面，，又，，则1，，1，，1，，0，，0，，平面，平面，，，且，平面EBC，平面EBC，故取平面EBC的法向量为0，，设平面 的法向量y，，由，得取，得，，二面角的正弦值为． 21.证明：如图，取PB中点G，连接AG，NG，为PC的中点，，且，又，，且，，且，则，且，四边形AMNG为平行四边形，则，平面PAB，平面PAB，平面PAB；解：取BC中点Q，连接AQ，已知，则有，且，，则四边形AQCM为矩形，即，底面ABCD，平面PAD，第8页，共4页
平面平面PAD，平面平面，平面ABCD，平面PAD，又平面PNM，则平面平面PAD，在平面PAD内，过A作，交PM于F，连接NF，则为直线AN与平面PMN所成角，在中，由N是PC的中点，得，在中，由，得，，直线AN与平面PMN所成角的正弦值为． 22.解：，的定义域为R，在R上恒成立，当时，不等式为，不符合题意；当时，满足，解得，实数m的取值范围为；令，当时，，函数，化为，，当时，可得当时，y取最小值，且，解得舍去；当时，可得当时，y取最小值，且，解得舍或；时，可得当时，y取最小值，且，解得舍去，综上，． 第8页，共4页
