2023届高二年级第一次月考理科数学试卷一、单选题1．已知，则直线与圆的位置关系是（）A．相交但不过圆心B．过圆心C．相切D．相离2．已知一个三棱柱的高为3，如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图，其中，则此三棱柱的体积为（）A．2B．4C．6D．123．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，4.直线，被⊙截得线段的长是（）A．B．C．D．不确定5.若动圆在轴与轴上截得的弦长总相等，则圆心的轨迹方程是（）A．B．C．D．6．如右图，已知多面体的底面为正三角形，四边形为矩形，棱与底面垂直，，若该多面体的侧视图面积与其俯视图面积相等，则的边长是（）A．B．2C．D．17．若圆台的高为3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，其轴截面的一个底角为，则这个圆台的侧面积是（）A．B．C．D．8．已知点A（1，0），B（1，6），圆，若在圆C上存在唯一的点P使，则（）A．–3或3B．57C．–3或57D．3或579．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．
10．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，，且，，利用张衡的结论可得球的表面积为（）A．30B．C．D．11．已知圆与直线（，为非零实数）相切，则的最小值为（）A．10B．12C．13D．1612．如右图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若线段A1D上存在一点E，使AE+B1E取得最小值，则此最小值是（）A．4B．C．D．二、填空题13．已知点和圆，若过点P作圆C的切线有两条，则实数m的取值范围是___________．14．如右图，圆锥的母线长为4，点为母线的中点，从点处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为__________15.已知圆及点，点P、Q分别是直线和圆C上的动点，则的最小值为__________.16.将边长为2的正方形沿对角线折成直二面角，现有如下4个命题：①异面直线与所成的角为60°；②是直角三角形；③的面积为；④四面体的外接球的表面积为.上述命题正确的是三、解答题17．已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.（1）m∈R时，证明l与C总相交；（2）m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长．18．如图，在正三棱柱中，为棱的中点.
（1）证明：平面；（2）证明：.19．已知圆过点，半径为，且圆关于直线对称，圆心在第二象限．（1）求圆的方程.（2）已知不过原点的直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，求直线的方程.20．如图1，圆O的半径为2，均为该圆的直径，弦垂直平分半径，垂足为F，沿直径将半圆所在平面折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图2）．（1）求的体积；（2）如图2，在劣弧上是否存在一点P（异于两点），使得平面？若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由．21．如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，点P在圆柱OQ的底面圆周上，G是DP的中点，圆柱OQ的底面圆的半径OA=2，侧面积为，∠AOP=120°．（1）求证：AG⊥BD；（2）求二面角P﹣AG﹣B的平面角的余弦值．
22．已知圆C：（x﹣3）2+y2＝1与直线m：3x﹣y+6＝0，动直线l过定点A（0，1）．（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；（2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，点M是PQ的中点，直线l与直线m相交于点N．探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．2023届高二年级第一次月考理科数学试卷答题卡一、选择题（每题5分，共60分）123456789101112二、填空题（每题5分，共20分）13、14、15、16、三、解答题17．（10分）
18.(12分)
19.(12分)20.（12分）
21.（12分）
22.（12分）
2023届高二第一次月考理科数学答案一．选择题1-5CCABD6-10BBCDD11-12DC二．填空题13.14.15.316.③④三．解答题17.（1）直线l的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，则l过定点P(4，－3)，由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．（2）圆的C方程可化为：(x－3)2＋(y＋6)2＝25，如图所示，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，弦AB的长度最短，此时PC⊥l，又，所以直线l的斜率为，则，在直角中，|PC|＝，|AC|＝5，所以|AB|＝.
故当时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为.18.解：（1）证明：连接，交于点，连接.因为为矩形，则为的中点；因为为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）在正三棱柱中，因为平面，平面，所以.因为为等边三角形，为的中点，所以.又因为，平面，所以平面，因为平面，所以.19.（1）设圆，圆心为，且由题意有，且，解得，圆的方程为；（2）设，即．直线与圆相切，由，得或．直线l的方程为或．20.（1）如图1，弦垂直平分半径，半径为2，，，在中有，，
为直径，，，，，图2中，平面平面，平面平面，又，平面，平面，则是四棱锥的高，.（2）在劣弧上式存在一点（劣弧的中点），使得平面，证明：分别连接，，，点为劣弧的中点，，，，则为等边三角形，，且，又且，且，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面.21.解（1）（解法一）：由题意可知8=2×2π×AD，解得AD=2，在△AOP中，AP=，∴AD=AP，又∵G是DP的中点，∴AG⊥DP．①∵AB为圆O的直径，∴AP⊥BP．由已知知DA⊥面ABP，∴DA⊥BP，∴BP⊥面DAP．∴BP⊥AG．②∴由①②可知：AG⊥面DBP，∴AG⊥BD．（2）由（1）知：AG⊥面DBP，∴AG⊥BG，AG⊥PG，∴∠PGB是二面角P﹣AG﹣B的平面角．PG=PD=×AP=，BP=OP=2，∠BPG=90°，．∴BG==．cos∠PGB===．（解法二）：建立如图所示的直角坐标系，由题意可知8=2×2π×AD，解得AD=2，则A（0，0，0），B（0，4，0），D（0，0，2），P（，3，0），∵G是DP的中点，∴可求得G（，，）．
（1）=（，﹣1，0），=（0，﹣4，2），∴=（，，）．∵=（，，）•（0，﹣4，2）=0，∴AG⊥BD（2）由（1）知，）=（，﹣1，0），=（，，）.=（﹣，﹣，）=（，﹣，）∵，．∴是平面APG的法向量．设=（x，y，1）是平面ABG的法向量，由，解得=（﹣2，0，1）cosθ==．所以二面角二面角P﹣AG﹣B的平面角的余弦值22.解：（1）1°当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝0，与圆C不相切；2°当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，∴，解得或，∴直线l的方程为y＝1或；（2）由题意可知直线l的斜率存在，设l的方程为y＝kx+1，M（x0，y0），由消去y得，（1+k2）x2﹣（6﹣2k）x+9＝0，∴，∴，∴，由得，，∴，∴，∴，
∴为定值．
