潍坊第四中学2021—2022学年度高二过程性检测数学试题一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知a=(-3,2,5),b=(1,m,3)若a⊥b,则常数m=（）A.-6B.6C.-9D.92.若向量与向量共线，则（）A.B.C.D.13.已知两条不同的直线和两个不同的平面，则：（1）若，则；（2）空间中，三点确定一个平面；（3）若，则；（4）若且，则.以上假命题的个数为（）A．1B．2C．3D．44.正方体中，P，Q，R分别是AB、AD、的中点，那么正方体的过P、Q、R的截面图形是（）。A、三角形；B、四边形；C、五边形；D、六边形5.已知棱长为1的正方体中，，分别为，的中点；则异面直线与所成的角为（）A.B.C.D.6．正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．7.已知点，，，又点在平面内，则的值为（）A.B.C.D.8．如图，三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面三角形是正三角形，E是的中点.由以下论断：
①与是异面直线；②平面；③与为异面直线，且；④平面．则这些论断正确的序号是（）A．③B．③④C．①②③D．②③④二．多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的的0分.9.若，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则C．直线的方向向量，平面的法向量是，则D．直线的方向向量，平面的法向量是，则11.如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（）A.B.
C.D.12.如图，在菱形中，，，将沿对角线翻折到位置，连结，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A.与平面BCD所成的最大角为B.存在某个位置，使得C.当二面角的大小为时，D.存在某个位置，使得到平面的距离为三．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13.在空间直角坐标系中，点在平面上的射影为点，在平面上的射影为点，则__________．14.如图，点为所在平面外一点，点为的中点，若与同时成立，则实数的值为______．15.如图，在正方体中，点为线段上的动点，分别为棱的中点，若平面，则_______．
16．在棱长为1的正方体中，为的中点，，是正方体表面上相异两点，满足，.若均在平面内，则与的位置关系是________，的最小值为________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.（1）试用向量，，表示向量；（2）若，，，求的值.18.如图，已知直三棱柱，在底面中，，，棱，，分别是，的中点．(1)求的模；(2)求的值；(3)求证：．19．(12分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝2．
(1)求证：AB1∥平面BC1D；(2)求异面直线AB1与BC1所成的角．20.(12分)如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.21．(12分)在①平面平面，②，③平面这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.如图，在四棱锥中，底面是梯形，点在上，，，，，且______.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.22.(12分)如图，几何体为圆柱的一半，四边形为圆柱的轴截面，点为圆弧上异于，的点，点为线段上的动点.
（1）求证：；（2）若，，，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.2021—2022学年度高二过程性检测数学答案一．单选择（每个5分）1~5ABCDC6~8CBA二．多选题（每个5分，选不全得2分，选错得0分）9.ABC10.AB11.BC12.BC三．填空题（每个5分）13.14.15.16.平行四．解答题17.(10分)（1），
故∵点E为AD的中点，故。。。。。。。。。。。。。5分（2）由题意得故故。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分18.(12分)(1)如图，以点作为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．由题意得，，所以．(2)由题意得，，，，所以，，，，，
所以．(3)由题意得，，，，所以，所以，即．19．(12分)(1)证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD．因为O为B1C的中点，D为AC的中点，所以OD∥AB1．因为AB1⊄平面BC1D，OD⊂平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D．.。。。。。。。。。。5分(2)建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则B(0,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,2)，B1(0,0,2)，因此＝(0，－2,2)，＝(2,0,2)．所以cos〈，〉＝＝＝，设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则cosθ＝，由于θ∈，故θ＝．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分20.(12分)（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD因为平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，因此AO⊥平面BCD，因为平面BCD，所以AO⊥CD。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分
(2)作EF⊥BD于F,作FM⊥BC于M,连EM因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD,AO⊥CD所以EF⊥BD,EF⊥CD,,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC因为FM⊥BC，,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME则为二面角E-BC-D的平面角,因为,为正三角形,所以为直角三角形因为,从而EF=FM=平面BCD,所以。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分21.(12分)方案一：选条件①.（1）∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面.又，∴，，两两垂直.以A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，∴，，.∵，，∴，.又，∴平面.又平面，∴平面平面.（2）由（1）可得平面的一个法向量为，又，设直线与平面所成角为，则.方案二：选条件②.（1）∵底面为梯形，，∴两腰，必相交.又，，，平面，∴平面.又，∴，，两两垂直.以A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，∴，，.∵，，∴，.又，∴平面.又平面，∴平面平面.（2）由（1）可得平面的一个法向量为，又，设直线与平面所成角为，则.方案三：选条件③.（1）∵平面，平面，∴.又，，平面，，∴平面.又，∴，，两两垂直.以A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，∴，，.∵，，∴，.又，∴平面.又平面，∴平面平面（2）由（1）可得平面的一个法向量为，又，设直线与平面所成角为，则.22.(12分)（1）证明：四边形是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆的直径，，是圆柱的母线，平面，，又，平面，又平面，．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分（2），，，，，以为原点，以，及平面的过点的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系
，如图所示，则，0，，，1，，，0，，，0，，，1，，，1，，，，，，1，，，1，，设，，，则，，，，设平面的法向量为，，，则，即，令可得，3，，，，直线与平面所成角的正弦值为，，解得，，3，，由（1）可知平面，，0，为平面的法向量，，，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
