石家庄2021-2022学年度高三年级第一学期10月联考数学试卷（时间：120分钟分数：150分）一．单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）1．已知集合，集合，则集合的真子集的个数为（）A．B．C．D．2．设为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知函数，则“函数在上单调递减”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知是直线与单位圆在第一象限内的交点，设，则（）A．B．C．D．5．若直线与圆相交于两点，且（为原点），则的值为（）A．B．C．D．6．已知函数，且，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知抛物线的焦点为F，经过点的直线l与该曲线交于A､B两点，且点P恰好为AB的中点，则（）A．B．C．D．8．已知数列满足，对任意的有，设数列满足，，则当的前项和取到最大值时的值为（）
A．B．C．D．
二．多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）9．设正实数满足，则（）A．的最大值是B．的最小值是C．的最小值为D．的最大值为10．已知圆，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，则（）A．圆的方程为B．直线的方程为C．均与圆相切D．四边形的面积为11．已知椭圆，为的右焦点，为的左顶点，为直线与的两个交点，则下列叙述正确的是（）A．△周长的最小值为B．△面积的最大值为C．若△的面积为，则△为直角三角形D．若直线与的斜率之积为，则△为等腰三角形12．已知函数，其中，若不等式有解，则下列叙述正确的是（）A．B．C．方程有唯一解D．方程有唯一解三．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知向量满足，，且，则与的夹角为_________．14．在平面直角坐标系中，已知点，点分别为直线和上动点，则△周长的最小值为_________．15．已知数列的前项和为，满足，（），则数列的通项公式为_________．16．已知双曲线（）的左右焦点分别为，过点且垂直于
轴的直线与双曲线的左支交于两点，分别交轴于两点，若△的周长为，则当取得最大值时，该双曲线的离心率为_________．
四．解答题（本大题共6小题，共70分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知等差数列的前项和为，，，数列的前项和为．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前2021项和．18．（12分）△中，角的对边分别为，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，△的面积为，求△的周长．19．（12分）已知正项数列的前n项和为，满足（，），且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．
20．（12分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．（Ⅰ）求抛物线的方程及的值；（Ⅱ）设为坐标原点，过点的直线与相交于两点，为的中点，且，求直线的方程．21．（12分）已知函数（），．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．22．（12分）设为坐标原点，椭圆（）的右焦点为，过的直线与C交于两点，且当与轴垂直时，线段长度为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若对任意的直线，点总满足，求实数的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求面积的最大值．
数学试卷（参考答案）一．单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）1-4．CDAB5-8．AABB二．多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）9．BC10．AC11．ABC12．BD三．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．14．15．16．四．解答题（本大题共6小题，共70分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解析】（Ⅰ）设的公差为，由，得.解得，，所以（3分）当时，，，也符合上式所以.（6分）（Ⅱ）注意取偶数时，，所以（8分）（10分）18．【解析】（Ⅰ）由及正弦定理得，所以，∴，又∵，∴.（4分）又∵，∴.（6分）（Ⅱ）由，，根据余弦定理得，由的面积为，得.（9分）所以，得，所以△周长.（12分）
19．【解析】（Ⅰ）当时，由，故整理得由于数列为正项数列，所以（常数）所以是以为首项，1为公差的等差数列（3分）所以所以（5分）易见也适合该式，故（6分）（Ⅱ）由于（7分）所以（12分）20．【解析】（Ⅰ）由，从而故抛物线的方程为（3分）将代入得（4分）（Ⅱ）易知，设显然直线的斜率存在，设直线联立，消去得由，解得且（5分）从而（6分）由，知
从而，即（8分）由是的中点，故，整理得（9分）代入得，解得，均满足所以直线的方程为或（12分）21．【解析】（Ⅰ）当时，，故在上单调递增（2分）当时，令，得，从而时，，递增；时，，递减综上，当时，在上单调递增；当时，在上递增，在上递减（5分）（Ⅱ）不等式，即因为，所以（6分）令（7分）令，则，故在上递增，在上递减所以，即（9分）令，则设，则由，故在上单调递减，在上单调递增所以，即的最小值为所以实数的取值范围为（12分）
22．【解析】（Ⅰ）由题意当与轴垂直时，线段长度为1，故点代入椭圆方程可得联立方程组得所以椭圆C的方程为（4分）（Ⅱ）当与轴垂直时，由，此时当与轴不垂直时，因为，所以设点，直线的方程为所以又，所以（6分）联立直线和椭圆方程，消去得所以，代入上式得（8分）（Ⅲ）=设直线为，联立方程组消去得所以，，.所以=（10分）由，当且仅当即时取等从而所以△面积的最大值为（12分）
