河南省实验中学2021——2022学年上期期中试卷高二文科数学（时间：120分钟，满分：150分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．若x，y满足﹣1＜x＜y＜1，则x﹣y的取值范围是（ ）A．（﹣2，0）B．（﹣2，2）C．（﹣1，0）D．（﹣1，1）2．等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则（ ）A．10B．5C．3D．43．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a：b：c＝2：4：5，则等于（ ）A．B．C．D．4．已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则不等式cx2﹣ax+b＞0的解集为（）A．{x|x＜1}B．{x|x或x＞1}C．{x|﹣1＜x}D．{x|x＜﹣1或x}5．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且有a1+a9＝2，b4+b6＝8，则的值为（ ）A．B．C．2D．36．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知B＝45°，，为使此三角形有两个，则b满足的条件是（ ）A．B．0＜b＜2C．D．或b＝27．已知，且z＝2x﹣y的最大值是最小值的2倍，则a等于（ ）
A．B．C．D．8．在数列{an}中，a1＝1，an﹣an﹣1＝n（n∈N+，n≥2），则的最小值是（ ）A．B．C．1D．9．“大玉米”是郑州新地标，被称为“中原第一高楼”，也被称为是世界上一座独一无二的标志性建筑．它是圆柱塔式建筑，夜晚其布景灯采用黄色设计，外形宛如一根“大玉米”．某人在地面上点C测得塔底B在南偏西70°，楼顶A的仰角为45°，此人沿南偏东50°方向前进280m到点D，测得楼顶A的仰角为30°．按照此人的测量进行估算，则“大玉米”的高约为（ ）（参考数据：4202＝176400）A．280mB．150mC．290mD．170m10．已知a＞b＞0，则的最小值为（ ）A．6B．4C．D．11．已知数列{an}满足an，且数列{an}是单调递增数列，则t的取值范围是（ ）A．（，）B．（，+∞）C．（5，+∞）D．（1，4]12．在△ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，若a，b，c的倒数成等差数列，则B的范围为（ ）A．B．C．D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若数列{an}的前n项和为，则数列{an}的通项公式an＝ ．
14．不等式的解集为 ．15．如果函数f（x）在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有f（）．若y＝sinx在区间（0，π）上是凸函数，那么在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是 ．16．数列{an}满足an+1+（﹣1）nan＝2n﹣1，则{an}的前60项和为 ．三．解答题（本大题共6小题，其中17题10分，其余每小题12分，共70分）17．（10分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sin2A+3cos（B+C）＝0．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积，求b+c的值．18．（12分）已知公差不为零的等差数列{an}满足a1＝3，且a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若Sn表示数列{an}的前n项和，求数列的前n项和Tn．19．（12分）已知对于正数a、b，存在一些特殊的形式，如：、、等．判断上述三者的大小关系，并证明。20．（12分）已知数列{an}中，a1＝1，an+1．
（1）求证：为等比数列，并求{an}的通项公式；（2）数列{bn}满足bn＝（3n﹣1）•，求数列{bn}的前n项和为Tn．21．（12分）已知关于x的不等式（ax﹣1）（x+1）＞0．（1）若此不等式的解集为，求实数a的值；（2）若a∈R，解这个关于x的不等式．22．（12分）如图，已知扇形OMN是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，∠MON，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案：（1）如图1，拟在观光区内规划一条三角形ABO形状的道路，道路的一个顶点B在弧MN上，另一顶点A在半径OM上，且AB∥ON，求△ABO周长的最大值；（2）如图2，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃ABC的一个顶点B在弧MN上，另两个顶点A、C在半径OM、ON上，且AB∥ON，AC⊥ON，求花圃△ABC面积的最大值．
河南省实验中学2021——2022学年上期期中答案高二文科数学一．选择题（共12小题）1．A．2．C．3．D．4．D．5．B．6．A．7．B．8．C．9．A．10．A．11．A．12．A．二．填空题（共4小题）13．．14．（﹣1，0）∪（1，+∞）．15．．16．1830三．解答题（共6小题）17．解：（1）由2sin2A+3cos（C+B）＝0，得2cos2A+3cosA﹣2＝0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）＝0，解得cosA或cosA＝﹣2（舍去），由0＜A＜π，可得A；（2）由，得bc＝20，又a2＝b2+c2﹣2bccosA＝21，即有（b+c）2﹣2bc﹣2bccos21，即（b+c）2＝21+3bc＝21+3×20＝81，所以b+c＝9．18．解：（1）公差不为零的等差数列{an}满足：a1＝3，且a1，a4，a13成等比数列．则：，即：（3+3d）2＝3（3+12d），解得：d＝0或2（0舍去），所以：an＝3+2（n﹣1）＝2n+1．（2）由于：an＝2n+1，则：n2+2n，所以：．则：Tn，
，．19．证明：，证明如下：因为（）2，又a，b是正数，所以a2+b2＞0，（a+b）2＞0，（a﹣b）2≥0，所以（）2，当且仅当a＝b时，取等号，故；因为（）20，当且仅当a＝b时，取等号，所以；故．20．证明：（1）由0，得1，∴3（），，∴数列以为首项，3为公比的等比数列，3n﹣1，∴（n∈N*），（2），所以
两式相减得，所以。21．解：（1）∵不等式（ax﹣1）（x+1）＞0的解集为，∴方程（ax﹣1）（x+1）＝0的两根是﹣1，；∴a﹣1＝0，∴a＝﹣2；（2）∵（ax﹣1）（x+1）＞0，∴a＜0时，不等式可化为（x）（x+1）＜0；若a＜﹣1，则1，解得﹣1＜x；若a＝﹣1，则1，解得不等式为∅；若﹣1＜a＜0，则1，解得x＜﹣1；a＝0时，不等式为﹣（x+1）＞0，解得x＜﹣1；当a＞0时，不等式为（x）（x+1）＞0，∵1，∴解不等式得x＜﹣1或x；综上，a＜﹣1时，不等式的解集为{x|﹣1＜x}；
a＝﹣1时，不等式的解集为∅；﹣1＜a＜0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1}；a＝0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1}；当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1，或x}．22．解：（1）∵AB∥ON，，∴，又OB＝10，设∠MOB＝θ，θ∈（0，），在△AOB中，由正弦定理可知，，∴AB，OA，∴△AOB的周长f（θ），θ∈（0，）．化简得f（θ）．∴时，△AOB的周长有最大值为米．答：△ABO周长的最大值为米；（2）∵图2中△ABC与图1中△ABO面积相等，而在△ABO中，∵OB＝r＝10，AB∥ON，，∴．由余弦定理知，OB2＝OA2+AB2﹣2OA•AB•cos∠OAB，∴100＝OA2+AB2+OA•AB≥3OA•AB，
∴OA，当且仅当OA＝AB时取“＝”．∴平方米．答：花圃△ABC面积的最大值为平方米，此时OA＝AB米．
