吉林省顶级名校2022届高三上学期期中考试数学试卷(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。考试结束后，将答题卡交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集，，，（）A．B．C．D．2．已知向量，，若，则（）A．2B．C．6D．3．已知l、m是两条不同的直线，是平面，，，则“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)服从正态分布N(165,52)，则适合身高在155～175cm范围内的校服大约要定制( )A．683套B．954套C．972套D．997套5．设i是虚数单位，若zi＋2＝z，则＝( )A．B．C．D．6．在中，，则的形状为（）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形7．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是( )A．5B．6C．7D．88．函数的大致图象是（）A．B．C．D．9．已知，，，则（）A．B．C．D．10．已知球，过其球面上，，三点作截面，若点到该截面的距离是球半径的一半，且，，则球的表面积为（）A．B．C．D．11．已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线与C交于两点.若，，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．已知函数的定义域为，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，，函数（），对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。13．___________；14．已知实数满足约束条件，则的最大值为_______；15．已知函数，若将其图象向右平移个单位长度后所得的图象关于原点对称，则的最小值为_____；16．刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该茅草屋顶的面积为___________.三、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出必要证明过程或演算步骤。（一）必考题：第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。17.（本题满分12分）设等差数列的公差为，，为的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18.（本题满分12分）)很多新手拿到驾驶证后开车上路，如果不遵守交通规则，将会面临扣分的处罚，为让广大新手了解驾驶证扣分新规定，某市交警部门结合机动车驾驶人有违法行为一次记12分、6分、3分、2分的新规定设置了一份试卷(满分100分)，发放给新手解答，从中随机抽取了12名新手的成绩，成绩以茎叶图表示如图所示，并规定成绩低于95分的为不合格，需要加强学习，成绩不低于95分的为合格．(1)求这12名新手的平均成绩与方差；(2)将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，若从该市新手中任选4名参加座谈会，用X表示成绩合格的人数，求X的分布列与数学期望.
19.（本题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，CD＝2AB＝4，AD＝，△PAB为等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥底面ABCD，E为PD的中点.（1）求证：AE∥平面PBC；（2）求二面角A－EB－C的余弦值.20.（本题满分12分）已知函数（）．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）函数在区间上满足，求a的取值范围．21.（本题满分12分）已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线l：x－y＋＝0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝4，证明：直线AB过定点.，并求出该定点.（二）选考题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。22.（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于，两点.（1）求直线的直角坐标方程，及曲线的普通方程；
（2）若点，求的值.23.（本题满分10分）选修4－5:不等式选讲已知函数.（1）解不等式;（2）若存在实数，使得，求实数的取值范围.
数学试卷(理科)参考答案一、选择题123456789101112BACBDABDBACA二、填空题13.14.615..16.32三、解答题17.（1）（2）【详解】解：（1），为与的等比中项，，即，由，所以，∴数列的通项公式为.（2）由（1）得，，.18.（1）平均数92分，方差；（2）分布列见解析，数学期望为3.【详解】(1)这12名新手的成绩分别为68,72,88,95,95,96,96,97,98,99,100,100，则平均成绩为(68＋72＋88＋95＋95＋96＋96＋97＋98＋99＋100＋100)÷12＝92，其方差为[(92－68)2＋(92－72)2＋(92－88)2＋2×(92－95)2＋2×(92－96)2＋(92－97)2＋(92－98)2＋(92－99)2＋2×(92－100)2]＝(242＋202＋42＋2×32＋2×42＋52＋62＋72＋2×82)＝.(2)抽取的12名新手中，成绩低于95分的有3个，成绩不低于95分的有9个，故抽取的12名新手中合格的频率为＝，故从该市新手中任选1名合格的概率为.
X的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P(X＝0)＝C0404＝，P(X＝1)＝C1413＝＝，P(X＝2)＝C2422＝＝，P(X＝3)＝C3431＝＝，P(X＝4)＝C4440＝.所以X的分布列为X01234PE(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝3.19.（1）证明见解析；（2）.【详解】(1)如图，取PC的中点F，连接EF，BF，∵PE＝DE，PF＝CF，∴EF∥CD，CD＝2EF，∵AB∥CD，CD＝2AB，∴AB∥EF，且EF＝AB.∴四边形ABFE为平行四边形，∴AE∥BF.∵BF⊂平面PBC，AE平面PBC.故AE∥平面PBC.(2)取AB中点O，CD中点M，以O为原点，OM为x轴，AB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系：则A（0，-1，0），B（0,1,0），C（1,2,0），P（0,0,1）D（1，-2,0），E，则，,,设平面ABE的一个法向量为，平面CBE的一个法向量为，则，令，则，
，，则，设与的夹角为，则，由二面角A－EB－C为钝角，则余弦值为.20.（1）；（2）递减区间为，；递增区间为；（3）.【详解】解：（1）若，则，，所以，即切线的斜率等于—2；又，切点为；所以曲线在点处的切线方程为，即；（2）的定义域为，（），当或时，，在和上单调递减；当时，，在单调递增；所以的递减区间为，；递增区间为；（3）①当，即时，在上单调递增，，解得，因此；②当，即时，在上单调递减，上单调递增，，解得，因此；③当时，定义域是，但在要有定义，故排除；④当，在上单调递减，，与矛盾，因此无解；综上所述，a的取值范围为．21.（1）＋y2＝1.（2）见解析
【解析】(1)∵等轴双曲线离心率为，∴椭圆C的离心率e＝.∴e2＝＝，∴a2＝2b2.∵由x－y＋＝0与圆x2＋y2＝b2相切，得b＝1，∴a2＝2.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明①若直线AB的斜率不存在，设方程为x＝x0，则点A(x0，y0)，B(x0，－y0)．由已知＝4，得x0＝－.此时AB方程为x＝－.②若直线AB的斜率存在，设AB方程为y＝kx＋m，依题意m≠±1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.则x1＋x2＝－，x1x2＝.由已知k1＋k2＝4，可得＋＝4，∴＋＝4，即2k＋(m－1)＝4，将x1＋x2，x1x2代入得k－＝2，∴k＝2(m＋1)，∴m＝－1.故直线AB的方程为y＝kx＋－1，即y＝k－1.∴直线AB过定点.综上，直线AB过定点.22.（1）；；（2）2.【详解】（1）由，得，将代入，所以直线的直角坐标方程为，
由，消去参数得，所以曲线的普通方程为.（2）显然点在直线：上，直线的参数方程为（为参数），代入曲线可得，即，设，对应的参数分别为，，则，，∴.23.（1）；（2）.【详解】解：(1)①当时，，所以②当时，，所以③当时，，所以综上，不等式的解集为(2)原式即由绝对值三角不等式，，即，即
