吉林省顶级名校2022届高三上学期期中考试数学试卷(文科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。考试结束后，将答题卡交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集，，，（）A．B．C．D．2．已知向量，，若，则（）A．2B．C．6D．3．已知l、m是两条不同的直线，是平面，，，则“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为，，，，，各等级人数所占比例依次为：等级15%，等级40%，等级30%，等级14%，等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取1000人作为样本，则该样本中获得或等级的学生人数为（）A．275B．400C．550D．4505．已知等差数列的前项和为，若，则（）A．B．C．D．6．欧拉是一位杰出的数学家，为数学发展作出了巨大贡献，著名的欧拉公式：
，将三角函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式，复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二条限C．第三象限D．第四象限7．在中，，则的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形8．函数的大致图象是（）A．B．C．D．9．已知，，，则（）A．B．C．D．10．已知球，过其球面上，，三点作截面，若点到该截面的距离是球半径的一半，且，，则球的表面积为（）A．B．C．D．11．已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线与C交于两点.若，，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．已知函数的定义域为，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，，函数（），对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数
构成的集合为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。13．已知数列的前项和为，若，，则___________；14．已知实数满足约束条件，则的最大值为_______；15．已知函数，若将其图象向右平移个单位长度后所得的图象关于原点对称，则的最小值为_____；16．刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该茅草屋顶的面积为___________.三、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出必要证明过程或演算步骤。（一）必考题：第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。17.（本题满分12分）设等差数列的公差为，，为的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18.（本题满分12分）
共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（1）求，，，的值；（2）若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率.19.（本题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，CD＝2AB＝4，AD＝，△PAB为等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥底面ABCD，E为PD的中点.（1）求证：AE∥平面PBC；（2）求三棱锥P－EBC的体积.20.（本题满分12分）已知函数（）．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；
（3）函数在区间上满足，求a的取值范围．21.（本题满分12分）已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线l：x－y＋＝0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝4，证明：直线AB过定点,，并求出该定点.（二）选考题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。22.（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于，两点.（1）求直线的直角坐标方程，及曲线的普通方程；（2）若点，求的值.23.（本题满分10分）选修4－5:不等式选讲已知函数.（1）解不等式;（2）若存在实数，使得，求实数的取值范围.
数学试卷(文科)参考答案一、选择题123456789101112BACCBDBDBACA二、填空题13.814.615..16.32三、解答题17.（1）（2）【详解】解：（1），为与的等比中项，，即，由，所以，∴数列的通项公式为.（2）由（1）得，，.18.（1），，，；（2）.【详解】（1）由频率分布表可得内的频数为，内的频率为内的频率为0.04（2）由题意可知，第4组共有4人，第5组共有2人，设第4组的4人分别为、、、；第5组的2人分别为、从中任取2人的所有基本事件为：
，，，，，，，，，，，，，，共15个.至少一人来自第5组的基本事件有：，，，，，，，，共9个.所以.所抽取2人中至少一人来自第5组的概率为.19.（1）证明见解析；（2）.【详解】(1)如图，取PC的中点F，连接EF，BF，∵PE＝DE，PF＝CF，∴EF∥CD，CD＝2EF，∵AB∥CD，CD＝2AB，∴AB∥EF，且EF＝AB.∴四边形ABFE为平行四边形，∴AE∥BF.∵BF⊂平面PBC，AE平面PBC.故AE∥平面PBC.(2)由(1)知AE∥平面PBC，∴点E到平面PBC的距离与点A到平面PBC的距离相等，∴VP－EBC＝VE－PBC＝VA－PBC＝VP－ABC.如图，取AB的中点O，连接PO，∵PA＝PB，∴OP⊥AB.∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，OP⊂平面PAB，∴OP⊥平面ABCD.∵△PAB为等腰直角三角形，PA＝PB，AB＝2，∴OP＝1.∵四边形ABCD为等腰梯形，且AB∥CD，CD＝2AB＝4，AD＝，∴梯形ABCD的高为1，∴S△ABC＝×2×1＝1.
故VP－EBC＝VP－ABC＝×1×1＝.20.（1）；（2）递减区间为，；递增区间为；（3）.【详解】解：（1）若，则，，所以，即切线的斜率等于—2；又，切点为；所以曲线在点处的切线方程为，即；（2）的定义域为，（），当或时，，在和上单调递减；当时，，在单调递增；所以的递减区间为，；递增区间为；（3）①当，即时，在上单调递增，，解得，因此；②当，即时，在上单调递减，上单调递增，，解得，因此；③当时，定义域是，但在要有定义，故排除；④当，在上单调递减，，与矛盾，因此无解；综上所述，a的取值范围为．21.（1）＋y2＝1.（2）见解析【解析】(1)∵等轴双曲线离心率为，∴椭圆C的离心率e＝.∴e2＝＝，∴a2＝2b2.∵由x－y＋＝0与圆x2＋y2＝b2相切，得
b＝1，∴a2＝2.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明①若直线AB的斜率不存在，设方程为x＝x0，则点A(x0，y0)，B(x0，－y0)．由已知＝4，得x0＝－.此时AB方程为x＝－.②若直线AB的斜率存在，设AB方程为y＝kx＋m，依题意m≠±1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.则x1＋x2＝－，x1x2＝.由已知k1＋k2＝4，可得＋＝4，∴＋＝4，即2k＋(m－1)＝4，将x1＋x2，x1x2代入得k－＝2，∴k＝2(m＋1)，∴m＝－1.故直线AB的方程为y＝kx＋－1，即y＝k－1.∴直线AB过定点.综上，直线AB过定点.22.（1）；；（2）2.【详解】（1）由，得，将代入，所以直线的直角坐标方程为，由，消去参数得，所以曲线的普通方程为.（2）显然点在直线：上，直线的参数方程为（
为参数），代入曲线可得，即，设，对应的参数分别为，，则，，∴.23.（1）；（2）.【详解】解：(1)①当时，，所以②当时，，所以③当时，，所以综上，不等式的解集为(2)原式即由绝对值三角不等式，，即，即
