秘密★启用前绵阳市高中2019级第一次诊断性考试理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A＝{x|－1<x≤1}，B＝{x|log2x<1}，则A∩B＝A.{x|－1<x≤1}B.{x|－1<x<1}C.{x|0<x≤1}D.{x|0<x<1}2.若0<a<b，则下列结论正确的是A.lna>lnbB.b2<a2C.D.3.设D，E为△ABC所在平面内两点，，，则＝A.B.C.D.4.设x，y满足约束条件，则z＝3x＋4y的最大值是A.12B.17C.18D.5.通常人们用震级来描述地震的大小。地震震级是对地震本身大小的相对量度，用M表示，强制性国家标准GB17740－1999《地震震级的规定》规定了我国地震震级的计算和使用要求，即通过地震面波质点运动最大值(A/T)max进行测定，计算公式如下：M＝lg(A/T)max＋1.66lg△＋3.5(其中△为震中距)，已知某次某地发生了4.8级地震，测得地震面波质点运动最大值为0.01，则震中距大约为A.58B.78C.98D.1186.“”是“－2<a<”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.函数f(x)＝在(－，)上的图象大致为8.已知a＝，b＝log32＋log23，c＝log23，则a，b，c的大小关系为A.c>b>aB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a9.已知首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，若4anan＋1＝16n，则下列说法不正确的是A.数列{an}是等比数列B.数列{Sn}为单调递增数列C.a5＝256D.4an＝3Sn＋4n－110.设函数f(x)＝，则满足f(2x－1)<f(x)的x的取值范围是A.(，]B.[，1)C.(－∞，]D.(，1)11.已知定义在R上的函数y＝f(x)满足下列三个条件：①对任意的1≤x1<x2≤2，都有f(x1)>f(x2)；②y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称；③对任意的x∈R，都有f(x)＝f(x＋2)。则f()，f()，f()的大小关系是A.f()>f()>f()B.f()>f()>f()C.f()>f()>f()D.f()>f()>f()12.函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，已知|f()|＝3，且对于任意的x∈R都有f(－＋x)＋f(－－x)＝0，若f(x)在(，)上单调，则ω的最大值为A.11B.9C.7D.5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝2，S7＝35，则a6＝。
14.已知平面向量＝(1，)，＝(m，－1)，若⊥，则||＝。15.若tanα＝5tan，则＝。16.已知函数f(x)＝cos2x＋asinx－1，若不等式|f(x)|≤1对任意的x∈[0，π]恒成立，则实数a的取值范围为。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。17.(12分)己知函数f(x)＝2cos2ωx＋2sinωxcosωx－(ω>0)，其图象的两条相邻对称轴间的距离为。(1)求函数f(x)在[0，]上的单调递增区间；(2)将函数f(x)的图象向左平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，求φ的值。18.(12分)已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝2，且满足Sn＋1＝3Sn＋2。(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{nan}的前n项和Tn。19.(12分)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝3，从以下三个条件中任选一个：①btanC＝(2a－b)tanB；②2ccosB＝2a－b；③accosA＋a2(cosC－1)＝b2－c2，解答如下的问题。(1)证明：a＝sinB＋3cosB；(2)若AB边上的点P满足AP＝2PB，求线段CP的长度的最大值。20.(12分)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋3a2x－。(1)若a＝－1时，求f(x)在区间[－4，2]上的最大值与最小值。
(2)若存在实数m，使得不等式f(x)<0的解集为(m，＋∞)，求实数a的取值范围。21.(12分)已知函数f(x)＝xex－bxlnx－x2(b∈R)，其图象在点(1，f(1))处的切线斜率为2e－3。(1)证明：当x>1时，f(x)>xex－x2＋1；(2)若函数g(x)＝f(x)＋(4－a)x－1在定义域上无极值，求正整数a的最大值。(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)如图，在极坐标系中，已知点M(2，0)，曲线C1是以极点O为圆心，以OM为半径的半圆，曲线C2是过极点且与曲线C1相切于点(2，)的圆。(1)分别写出曲线C1，C2的极坐标方程；(2)直线θ＝α(0<α<π，ρ∈R)与曲线C1，C2分别相交于点A，B(异于极点)，求△ABM面积的最大值。23.[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)＝|x＋m|－|x－2m|(m>0)的最大值为6。(1)求m的值；(2)若正数x，y，z满足x＋y＋z＝m，求证：。
绵阳市高中2019级第一次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．CDBCCAABDDAD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．714．215．16．[1，]三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）．………………………………………………4分∵相邻对称轴间距离为，∴函数的最小正周期，即，解得，∴．…………………………………………………………6分由，得()，∴函数在[0，]上的单调递增区间为[0，]．………………………8分（2）将函数的图象向左平移个单位后得，∵为偶函数，∴，即，……………………………………………10分∴，即．又，∴．………………………………………………………………………12分18．解：（1）∵①，∴，即．
∵，∴．…………………………………………………………2分当时，．②由①－②得，即．又，∴数列是以首项为2，公比为3的等比数列．…………………………5分∴．…………………………………………………………………6分（2）由，…………………………………………………………7分得①②由①－②，得，．∴．…………………………………………………………12分19．解：选择条件①：由，得，由正弦定理可得，.∴，∴，∵，∴，∴，又，∴．选择条件②：由正弦定理可得，，又，∴，化简整理得，由，∴，又，∴．选择条件③：由已知得，，由余弦定理，得，∵，∴，∵，∴，
由正弦定理，有，∵，∴.又，∴．…………………………………………………………4分（1）证明：由正弦定理得，∴，∴，得证．……………………………6分（2）由AP=2PB及AB=3，可得PB=1，在△PBC中，由余弦定理可得，．………………………………………………………………9分∵△ABC为锐角三角形，∴，即．当时，取最大值为．∴线段CP的长度的最大值为．………………………………………12分20．解：（1）由题意得-(x-3a)(x+a)．…………………1分当时，，[-4，2]．由，解得；由，解得或．………………………………………3分∴函数f(x)在区间(-3，1)上单调递增，在区间[-4，-3)，(1，2]单调递减．又，∴函数在区间[-4，2]上的最大值为0，最小值为．………………6分（2）存在实数m，使不等式的解集恰好为(m，+)，等价于函数f(x)只有一个零点．∵，i)当a<0时，由，解得，∴函数f(x)在区间(3a，-a)上单调递增；由，解得或，∴函数f(x)在区间(，3a)，(-a，)上单调递减．又，
∴只需要f(-a)<0，解得-1<a<0．∴实数a的取值范围为-1<a<0．ii)当a=0时，显然f(x)只有一个零点成立．…………………………………10分iii)当a>0时，由，解得，即f(x)在区间(-a，3a)上单调递增；由，解得或，即函数f(x)在区间(，-a)，(3a，)上单调递减；又，∴只需要f(3a)<0，解得．综上：实数a的取值范围是．………………………………………12分21．解：（1）由题意得．…………………………1分∵函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线的斜率为2e-3，∴，解得b=2．………………………………………3分当x>1时，等价于，即．令，则．∴函数在区间上单调递增，∴，∴当x>1时，．……………………………………………6分（2）由题得．若g(x)=f(x)+(4-a)x-1无极值，则恒成立或恒成立．i)当恒成立时，，即．令．∴(x>0)．令，则，即在(0，)上单调递增．………………………………………………8分又，
∴存在(，1)，使得．∴当时，，即，∴函数h(x)在区间单调递减．当时，，即，∴函数h(x)在区间单调递增．∴函数h(x)的最小值为h(x0)=．………………………10分又，即，代入，得h(x0)==．又(，1)，则h(x0)==(3，)．∴正整数a的最大值是5．ii)当恒成立时，，即，又由（i）知，函数h(x)在区间上单调递增，∴函数h(x)不存在最大值．综上：正整数a的最大值是5．………………………………………………12分22．解：（1）曲线的极坐标方程为．…………………………2分设P()为曲线上的任意一点，∴．∴曲线极坐标方程为．…………………………………5分（2）∵直线与曲线，分别交于点A，B(异于极点)，∴设B()，则A()．由题意得，，∴．……………………………………………………7分∵点M到直线AB的距离，∴
．∴△ABM的面积的最大值为．……………………………………………10分23．解：（1）由题意得．………3分∵函数的最大值为6，∴，即．∵m>0，∴m=2.………………………………………………………………5分（2）由（1）知，，∵x>0，y>0，z>0，∴(当且仅当时，等号成立)．…………………………8分∴，∴(当且仅当时，等号成立)．………………10分
