2021-2022学年湖南省长沙一中集团七校联考九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中只有一项是符合要求的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．实数﹣2021的倒数是（ ）A．2021B．C．﹣D．﹣20122．2021年5月11日，我国第七次全国人口普查数据公布，全国人口共141178万人，数141178用科学记数法表示为（ ）A．1.41178×105B．1.41178×109C．1.41178×108D．1.41178×1063．下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．4．下列计算正确的是（ ）A．a2+a3＝a5B．（a3）2＝a5C．a2×a3＝a5D．（a2）3＝a55．如图所示，直线l1∥l2，∠1和∠2分别为直线l3与直线l1和l2相交所成角．如果∠1＝52°，那么∠2＝（ ）A．138°B．128°C．52°D．152°6．如图，点A、B、C是⊙O上，∠AOB＝80°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40°B．80°C．120°D．160°7．关于一元二次方程5x2﹣7x﹣9＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．以上说法都不对8．将函数y＝2x2+x﹣3的图象向左平移两个单位，以下错误的是（ ）A．顶点坐标改变B．对称轴改变C．开口方向不变D．与y轴的交点不变9．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）A．B．C．D．10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（ ）A．1+B．2+C．5﹣D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．75°的余角是 ．12．要使得代数式有意义，x的取值范围是 ．13．一次函数y＝﹣2x﹣3的图象不经过第 象限．
14．已知一元二次方程x2+mx﹣＝0的一个根为2，则另一个根为 ．15．在Rt△ABC中，已知两边长度分别为3和4，那么第三边的长度为 ．16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，AP与BC的延长线交于点D．过点P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF并延长交DH于点G．下列结论中，正确的是 ．（填序号）①∠APB＝45°，②PF＝PA，③DG＝AP+GH，④BD＝AH+AB．三、解答题（本大题共9个小题，第1、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17．计算：．18．先化简，再求值：，其中a＝+1．19．如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为A（﹣5，2）、B（﹣2，5）、C（1，3）．（1）在图中画出将△ABC向右平移8个单位长度得到的△A1B1C1．（2）在图中画出将△ABC绕点C逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2．
20．2021年4月29日11时许，我国“天和”核心舱用长征五号B遥二运载火箭在海南文昌发射成功，正式拉开我中国空间站建造的序幕．为了解我校初三学生对我国空间站建设的关注程度，随机抽取了男、女学生若干名（抽取的男女生人数相同）进行问卷测试，问卷共30道选择题（每题1分，满分30分），现将得分情况统计，并绘制了不完整的统计图（数据分组为A组：x＜18，B组：18≤x＜22，C组：22≤x＜26，D组：26≤x≤30，x表示问卷测试的分数），其中男生得分处于C组的有14人．男生C组得分情况分别为：22、23、24、22、23、24、25、22、24、25、23、22、25、22男生、女生得分的平均数、中位数、众数（单位：分）如表所示：组别平均数中位数众数男20a22女202320（1）随机抽取的男生人数为 人，表格中a的值为 ，补全条形统计图；（2）通过以上数据分析，你认为是男生的成绩好还是女生的成绩好？说明理由（一条理由即可）．（3）如果我校男生、女生各1400人，那么估计此次参加问卷测试成绩不低于26分的人数有多少人？21．如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝60°，⊙O的半径为6，过点O作OH⊥AD，交AD于点H，求AH的长度．
22．某商店以每件60元的进价购进某种商品，原来按每件80元的售价出售，一天可售出50件．后经市场调查，发现这种商品每件的售价每降低1元，其销售量可增加5件．（1）该商店销售这种商品原来一天可获利多少元？（2）若此商店为了尽可能增加该商品的销售量，且一天仍能获利1080元，则每件商品的售价应降价多少元？（3）当该商店的商品每件售价为多少元时，一天所获利润最大？求出最大利润．23．如图，将矩形ABCD卡纸沿着EF对折，使得点B与点D重合．（1）证明：四边形EBFD为菱形；（2）如果AD＝3，AB＝2，试求四边形EBFD的面积；（3）若AD：AB＝k（k＞1），记：四边形ABCD的面积为S，四边形EBFD的面积为S1，试求的值．24．定义：在平面直角坐标系中，图形G上的点P（x，y）的横坐标x和纵坐标y的和x+y称为点P的“横纵和”，而图形G上所有点的“横纵和”中最小的值称为图形的“极小和”．（1）抛物线y＝x2﹣2x﹣2的图象上点P（1，﹣3）的“横纵和”是 ；该抛物线的“极小和”是 ．（2）记抛物线y＝x2﹣（2m+1）x﹣2的“极小和”为s，若﹣2021≤s≤﹣2020，求m的取值范围．（3）已知二次函数y＝x2+bx+c（c≠0）的图象上的点A（，2c）和点C（0，c）的“横纵和”相等，求该二次函数的“极小和”．这个“极小和”是否有最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由．25．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且图象经过点B（1，0）、C
（0，4），图象与x轴的另一交点为A．（1）求A点坐标和抛物线表达式．（2）点Q为抛物线对称轴上一动点，以点Q为圆心，QA为半径的圆与线段AC有两个交点时，求点Q的纵坐标取值范围．（3）P为抛物线上一动点，且P在线段AC的上方，连接PB交y轴于点M，过M作抛物线对称轴的垂线段，垂足为H，连接CH．探究CH+HM+MB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案一、选择题（在下列各题的四个选项中只有一项是符合要求的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．实数﹣2021的倒数是（ ）A．2021B．C．﹣D．﹣2012【分析】根据倒数的定义即可得出答案．解：根据倒数的定义可知：﹣2021的倒数为﹣，故选：C．2．2021年5月11日，我国第七次全国人口普查数据公布，全国人口共141178万人，数141178用科学记数法表示为（ ）A．1.41178×105B．1.41178×109C．1.41178×108D．1.41178×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．解：141178＝1.41178×105，故选：A．3．下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：A．4．下列计算正确的是（ ）A．a2+a3＝a5B．（a3）2＝a5C．a2×a3＝a5D．（a2）3＝a5【分析】利用合并同类项的法则，幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可．解：A、a2与a3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；B、（a3）2＝a6，故B不符合题意；C、a2×a3＝a5，故C符合题意；D、（a2）3＝a6，故D不符合题意；故选：C．5．如图所示，直线l1∥l2，∠1和∠2分别为直线l3与直线l1和l2相交所成角．如果∠1＝52°，那么∠2＝（ ）A．138°B．128°C．52°D．152°【分析】如图，根据平行线的性质，由l1∥l2，得∠1＝∠3＝52°．由∠2与∠3是邻补角，得∠2＝180°﹣∠3＝128°．解：如图．∵l1∥l2，∴∠1＝∠3＝52°．∵∠2与∠3是邻补角，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣52°＝128°．故选：B．
6．如图，点A、B、C是⊙O上，∠AOB＝80°，则∠ACB的度数为（ ）A．40°B．80°C．120°D．160°【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．解：∵∠AOB与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOB＝80°，∴∠ACB＝∠AOB＝40°．故选：A．7．关于一元二次方程5x2﹣7x﹣9＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．以上说法都不对【分析】根据根的判别式即可求出答案．解：∵Δ＝（﹣7）2﹣4×5×（﹣9）＝229＞0，∴关于一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0有两个不相等的实数根．故选：A．8．将函数y＝2x2+x﹣3的图象向左平移两个单位，以下错误的是（ ）A．顶点坐标改变B．对称轴改变C．开口方向不变D．与y轴的交点不变【分析】根据抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变判断即可．解：将函数y＝2x2+x﹣3的图象向左平移两个单位，顶点坐标改变，对称轴改变，开口方向不变，与y轴的交点改变，故选：D．9．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A．B．C．D．【分析】根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．解：依题意，得：．故选：B．10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（ ）A．1+B．2+C．5﹣D．【分析】证明△BPG≌△BCG（ASA），得出PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，则EG＝2x，FG＝x，由勾股定理得出BC2＝（4+2）x2，则可得出答案．解：∵四边形EFGH为正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG＝22.5°，又∵∠DBC＝45°，∴∠GBC＝22.5°，
∴∠PBG＝∠GBC，∵∠BGP＝∠BGC＝90°，BG＝BG，∴△BPG≌△BCG（ASA），∴PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，∵O为EG，BD的交点，∴EG＝2x，FG＝x，∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF＝CG＝x，∴BG＝x+x，∴BC2＝BG2+CG2＝＝，∴＝．故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．75°的余角是 15° ．【分析】根据余角的定义解决此题．解：75°的余角是90°﹣75°＝15°．故答案为：15°．12．要使得代数式有意义，x的取值范围是 x≥﹣2且x≠0 ．【分析】根据二次根式和分式有意义的条件即可得出答案．解：∵x+2≥0且3x≠0，∴x≥﹣2且x≠0，故答案为：x≥﹣2且x≠0．13．一次函数y＝﹣2x﹣3的图象不经过第 一 象限．【分析】由于k＝﹣2＜0，b＝﹣3＜0，根据一次函数图象与系数的关系得到一次函数y＝﹣2x﹣3的图象经过第二、四象限，与y轴的交点在x轴下方，即还要过第三象限．解：∵k＝﹣2＜0，∴一次函数y＝﹣2x﹣3的图象经过第二、四象限，
∵b＝﹣3＜0，∴一次函数y＝﹣2x﹣3的图象与y轴的交点在x轴下方，∴一次函数y＝﹣2x﹣3的图象经过第三、二、四象限，即一次函数y＝﹣2x﹣3的图象不经过第一象限，故答案为：一14．已知一元二次方程x2+mx﹣＝0的一个根为2，则另一个根为 ﹣ ．【分析】利用根与系数之间的关系求解．解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得：m×2＝﹣，∴m＝﹣，故答案为：﹣．15．在Rt△ABC中，已知两边长度分别为3和4，那么第三边的长度为 5或 ．【分析】分两种情况考虑：若4为直角边，可得出3也为直角边，第三边为斜边，利用勾股定理求出斜边，即为第三边；若4为斜边，可得3和第三边都为直角边，利用勾股定理即可求出第三边．解：若4为直角边，可得3为直角边，第三边为斜边，根据勾股定理得第三边为＝5；若4为斜边，3和第三边都为直角边，根据勾股定理得第三边为＝，则第三边长为5或．故答案为：5或．16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，AP与BC的延长线交于点D．过点P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF并延长交DH于点G．下列结论中，正确的是 ①②④ ．（填序号）①∠APB＝45°，②PF＝PA，③DG＝AP+GH，④BD＝AH+AB．
【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP，再根据角平分线的定义可得∠ABP＝∠ABC，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；②先求出∠APB＝∠FPB，再利用“角边角”证明△ABP和△FBP全等，根据全等三角形对应边相等得到AB＝BF，AP＝PF；③根据PF⊥AD，∠ACB＝90°，可得AG⊥DH，然后求出∠ADG＝∠DAG＝45°，再根据等角对等边可得DG＝AG，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH＝GF，然后求出DG＝GH+AF，根据AF＝PA可得结论；④根据直角的关系求出∠AHP＝∠FDP，然后利用“角角边”证明△AHP与△FDP全等，根据全等三角形对应边相等可得DF＝AH．解：①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线相交于点P，∴∠ABP＝∠ABC，∠CAP＝（90°+∠ABC）＝45°+∠ABC，在△ABP中，∠APB＝180°﹣∠BAP﹣∠ABP＝180°﹣（45°+∠ABC+90°﹣∠ABC）﹣∠ABC＝180°﹣45°﹣∠ABC﹣90°+∠ABC﹣∠ABC＝45°，故①正确；②∵PF⊥AD，∠APB＝45°（已证），∴∠APB＝∠FPB＝45°，∵PB为∠ABC的角平分线，∴∠ABP＝∠FBP，在△ABP和△FBP中，，∴△ABP≌△FBP（ASA），∴AB＝BF，AP＝PF，故②正确；③∵PF⊥AD，∠ACB＝90°，∴AG⊥DH，∵AP＝PF，PF⊥AD，∴∠PAF＝45°，∴∠ADG＝∠DAG＝45°，
∴DG＝AG，∵∠PAF＝45°，AG⊥DH，∴△ADG与△FGH都是等腰直角三角形，∴DG＝AG，GH＝GF，∴DG＝GH+AF，∵AF＝PA，∴DG＝AP+GH，故③错误；④∵∠ACB＝90°，PF⊥AD，∴∠FDP+∠HAP＝90°，∠AHP+∠HAP＝90°，∴∠AHP＝∠FDP，∵PF⊥AD，∴∠APH＝∠FPD＝90°，在△AHP与△FDP中，，∴△AHP≌△FDP（AAS），∴DF＝AH，∵BD＝DF+BF，∴BD＝AH+AB，故④正确；故答案为：①②④．三、解答题（本大题共9个小题，第1、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17．计算：．【分析】先分别计算二次根式的乘除法和零指数幂，再合并即可．解：原式＝3﹣1﹣3＝﹣1．18．先化简，再求值：，其中a＝+1．
【分析】先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的除法法则和乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．解：原式＝•＝•＝•＝a﹣1，当a＝+1时，原式＝+1﹣1＝．19．如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为A（﹣5，2）、B（﹣2，5）、C（1，3）．（1）在图中画出将△ABC向右平移8个单位长度得到的△A1B1C1．（2）在图中画出将△ABC绕点C逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2．【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求．
20．2021年4月29日11时许，我国“天和”核心舱用长征五号B遥二运载火箭在海南文昌发射成功，正式拉开我中国空间站建造的序幕．为了解我校初三学生对我国空间站建设的关注程度，随机抽取了男、女学生若干名（抽取的男女生人数相同）进行问卷测试，问卷共30道选择题（每题1分，满分30分），现将得分情况统计，并绘制了不完整的统计图（数据分组为A组：x＜18，B组：18≤x＜22，C组：22≤x＜26，D组：26≤x≤30，x表示问卷测试的分数），其中男生得分处于C组的有14人．男生C组得分情况分别为：22、23、24、22、23、24、25、22、24、25、23、22、25、22男生、女生得分的平均数、中位数、众数（单位：分）如表所示：组别平均数中位数众数男20a22女202320（1）随机抽取的男生人数为 50 人，表格中a的值为 25 ，补全条形统计图；（2）通过以上数据分析，你认为是男生的成绩好还是女生的成绩好？说明理由（一条理由即可）．
（3）如果我校男生、女生各1400人，那么估计此次参加问卷测试成绩不低于26分的人数有多少人？【分析】（1）男生C组的有14人，占调查男生人数的28%，可求出参与调查的男生人数，再根据中位数的意义求出男生成绩的中位数，即a的值，进而补全条形统计图；（2）从男女生成绩的中位数、众数的比较得出答案；（3）求出男女生成绩在26分及以上的所占的百分比即可求出男女生成绩在26分及以上的学生人数．解：（1）由题意可得，男生成绩在C组的有14人，14÷28%＝50（人），B组人数为：50×24%＝12（人），D组人数为：50×46%＝23（人），因此A组人数为：50﹣14﹣12﹣23＝1（人），将男生50人的城郊从小到大排列，处在中间位置的两个数都是25分，因此中位数是25，女生成绩在C组的人数为：50﹣2﹣13﹣20＝15（人），补全条形统计图即可，故答案为：50，25；（2）男生的成绩较好，理由为：男生成绩的中位数比女生成绩的中位数高；（3）1400×+1400×＝392+420＝812（人），答：我校男生、女生各1400人，那么估计此次参加问卷测试成绩不低于26分的人数有812人．21．如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝60°，⊙O的半径为6，过点O作OH⊥AD，交AD于点H，求AH
的长度．【分析】（1）连接OD，则OA＝OD，由等腰三角形的性质和平行线的性质证明OD∥AC，则∠ODF＝∠E＝90°，即可证明EF是⊙O的切线；（2））∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，则∠OAH＝30°，OH⊥AD于点H，则∠OHA＝90°，由“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”可以求得OH的长，再由勾股定理求AH的长．【解答】（1）证明：如图，连接OD，则OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠E＝90°，∵EF经过⊙O的半径OD的外端，且EF⊥OD，∴EF是⊙O的切线．（2）∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠OAH＝∠BAC＝30°，∵OH⊥AD于点H，∴∠OHA＝90°，∵OA＝6，∴OH＝OA＝3，∴AH＝＝3，∴AH的长为3．
22．某商店以每件60元的进价购进某种商品，原来按每件80元的售价出售，一天可售出50件．后经市场调查，发现这种商品每件的售价每降低1元，其销售量可增加5件．（1）该商店销售这种商品原来一天可获利多少元？（2）若此商店为了尽可能增加该商品的销售量，且一天仍能获利1080元，则每件商品的售价应降价多少元？（3）当该商店的商品每件售价为多少元时，一天所获利润最大？求出最大利润．【分析】（1）直接利用销量乘以每件利润＝总利润进而得出答案；（2）利用销量乘以每件利润＝1080，进而解方程得出答案；（3）根据一天的利润为一件的利润×销售量得出函数解析式，再利用二次函数最值求法得出答案．解：（1）∵某店以每件60元的进价购进某种商品，原来按每件80元的售价出售，一天可售出50件，∴该店销售该商品原来一天可获利润为：（80﹣60）×50＝1000（元），∴该商店销售这种商品原来一天可获利1000元；（2）设该商品降价x元，则有：（80﹣60﹣x）（50+5x）＝1080，整理得：x2﹣10x+16＝0，解得：x1＝2，x2＝8，又∵尽量多增加销售量，∴x＝8．∴每件商品的售价应降价8元；②设该商店一天的利润为y元，由题意，得：y＝（80﹣60﹣x）（50+5x）＝﹣5x2+50x+1000＝﹣5（x﹣5）2+1125，
∵﹣1＜0，∴当x＝5时，y有最大值，最大值为1125，此时售价为80﹣5＝75（元），答：该商品每件售价为75元时，该店一天所获利润最大，最大利润为1125元．23．如图，将矩形ABCD卡纸沿着EF对折，使得点B与点D重合．（1）证明：四边形EBFD为菱形；（2）如果AD＝3，AB＝2，试求四边形EBFD的面积；（3）若AD：AB＝k（k＞1），记：四边形ABCD的面积为S，四边形EBFD的面积为S1，试求的值．【分析】（1）先由折叠得BE＝DE，BF＝DF，∠BEF＝∠DEF，然后结合矩形对边平行的性质得到∠DEF＝∠BFE，从而得到∠BEF＝∠BFE，再由等角对等边得到BE＝BF，进而可得BE＝DE＝BF＝DF，最后得证结果；（2）设ED＝EB＝x，得到AE＝3﹣x，然后通过勾股定理列出方程求得x值，即得到ED的长，然后再求得四边形EBFD的面积；（3）先设AB＝m，ED＝n，结合AD：AB＝k与（2）中的解题过程，用含有m、n、k的式子表示ED，然后分别表示出S与S1，最后代入求得的值．【解答】（1）证明：由折叠得，ED＝EB，BF＝DF，∠BEF＝∠DEF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF，∴BE＝DE＝DF＝BF，∴四边形BEDF为菱形．（2）解：设ED＝EB＝x，则AE＝AD﹣DE＝3﹣x，
在Rt△ABE中，AE2+AB2＝BE2，∴（3﹣x）2+22＝x2，解得：x＝，∴四边形EBFD的面积为ED•AB＝×2＝．（3）解：设AB＝m，ED＝BE＝n，则AD＝km，AE＝km﹣n，在Rt△ABE中，AE2+AB2＝BE2，∴（km﹣n）2+m2＝n2，解得：n＝，∴S＝AB•AD＝m•km＝km2，S1＝ED•AB＝n•m＝•m＝，∴＝＝．24．定义：在平面直角坐标系中，图形G上的点P（x，y）的横坐标x和纵坐标y的和x+y称为点P的“横纵和”，而图形G上所有点的“横纵和”中最小的值称为图形的“极小和”．（1）抛物线y＝x2﹣2x﹣2的图象上点P（1，﹣3）的“横纵和”是 ﹣2 ；该抛物线的“极小和”是 ﹣ ．（2）记抛物线y＝x2﹣（2m+1）x﹣2的“极小和”为s，若﹣2021≤s≤﹣2020，求m的取值范围．（3）已知二次函数y＝x2+bx+c（c≠0）的图象上的点A（，2c）和点C（0，c）的“横纵和”相等，求该二次函数的“极小和”．这个“极小和”是否有最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由．【分析】（1）根据题目中的规定易得点P（1，﹣3）的“横纵和”；根据定义求出x+y是关于x的二次函数，然后利用二次函数的性质求出结论；（2）根据定义求出x+y＝（x﹣m）2﹣m2﹣2，即可得出﹣2021≤﹣m2﹣2≤﹣2020，解得≤m≤或﹣≤m≤﹣；（3）先求出“极小和”，即可根据二次函数的性质求得最大值．解：（1）∵点P（1，﹣3），
∴“横纵和”是1+（﹣3）＝﹣2，∵x+y＝x2﹣2x﹣2+x＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣﹣，∴抛物线的“极小和”是﹣；故答案为：﹣2，﹣；（2）x+y＝x2﹣（2m+1）x﹣2+x＝x2﹣2mx﹣2＝（x﹣m）2﹣m2﹣2，∵记抛物线y＝x2﹣（2m+1）x﹣2的“极小和”为s，∴s＝﹣m2﹣2，∵﹣2021≤s≤﹣2020，∴﹣2021≤﹣m2﹣2≤﹣2020，即≤m≤或﹣≤m≤﹣；（3）依题意有+2c＝0+c即：m＝﹣2c，∴A（﹣c，2c），将A（﹣c，2c）代入y＝x2+bx+c（c≠0）得，2c＝c2﹣bc+c，∵c≠0，化简可得：b＝c﹣1，即：y＝x2+（c﹣1）x+c，则：y+x＝x2+cx+c＝（x+）2﹣+c，令y＝x2+（c﹣1）x+c的“极小和”为w，则：w＝﹣+c＝﹣（c﹣2）2+1，∴当c＝2时，w有最大值，最大值为1．25．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且图象经过点B（1，0）、C（0，4），图象与x轴的另一交点为A．（1）求A点坐标和抛物线表达式．（2）点Q为抛物线对称轴上一动点，以点Q为圆心，QA为半径的圆与线段AC有两个交点时，求点Q的纵坐标取值范围．（3）P为抛物线上一动点，且P在线段AC的上方，连接PB交y轴于点M，过M作抛物线对称轴的垂线段，垂足为H，连接CH．探究CH+HM+MB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据对称性求出A点坐标，设抛物线解析式为交点式，代入（0，4）求得；（2）点C在⊙Q外和⊙Q上及⊙Q与AC相切于点A，分别根据QC≥半径QA和“子母三角形”求得EQ长，从而求得；（3）作B点关于直线x＝﹣的对称点B′，当C、H、B′共线时，CH+1+MB′最小，先求出共线时H点坐标，进而求出点M坐标，再把抛物线解析式和BM的解析式联立，求得P点坐标．解：（1）∵2×（﹣1）﹣1＝﹣3，∴A（﹣3，0），∴设y＝a（x﹣1）•（x+3），∴a•（﹣1）×3＝4，∴a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣1）•（x+3）＝﹣x2﹣x+4，（2）如图1，设Q（﹣1，y），C（0，4），A（﹣3，0），由OC≥AQ得，1+（y﹣4）2≥[（1﹣（﹣3）]2+y2，
∴y≤，如图2，∵OF∥OC，∴＝，＝，∴EF＝，当⊙Q与AC切于点A时，∠QAF＝90°，∴∠EAF+∠EAQ＝90°，∵AO⊥QF，∴∠AEF＝∠AEQ＝90°，∴∠EAF+∠AFE＝90°，∴∠EAQ＝∠AFE，∴△AEQ∽△FEA，∴＝，∴＝，∴EQ＝，∴Q（﹣1，﹣），
∴﹣＜y≤；（3）如图3，作B点关于直线x＝﹣的对称点B′，∴B′（﹣2，0），∴MB＝MB′，∴CH+HM+MB＝CH+1+MB＝CH+1+MB′，∴当C、H、B′共线时，CH+1+MB′最小，∵GB′＝OG＝1，∴HG是△B′OC的中位线，∴GH＝OC＝2，∴H（﹣1，2），∴M（0，2），∴直线BM的表达式是：y＝﹣2x+2，由﹣x2﹣x+4＝﹣2x+2得，x1＝1，x2＝﹣，当x＝﹣时，y＝﹣2×+2＝5，∴P（﹣，5）．
