湖南省长沙市四校联考2021-2022学年度第二学期期末考试高一数学本试卷为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。3.考试结束后，将答题卡交回。第I卷（选择题）一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意）1．已知复数，其中是虚数单位，则复数|z|等于（ ）A．3B．2C．10D．2．已知，且三点共线，则（ ）A．B．C．D．3．在中，若，，则的面积为（ ）A．B．C．D．4．某校有高一年级学生人，高二年级学生人，高三年级学生人，教职工人，学校根据疫情形势和所在地疫情防控政策要求，全校师生按比例分层抽样的方法抽取容量为的样本进行核酸抽测，则应抽取高一年级学生的人数为（ ）A．B．C．D．5．设是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）A．若，，，则B．若，，则C．若，，则D．若，且l与所成的角和m与所成的角相等，则6．已知某圆锥的侧面积为，该圆锥侧面的展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）．A．B．C．D．7．如图，在正方体中，、分别为棱、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）A．B．C．D．\n8．对于函数和，设，，若存在，，使得，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．二、多项选择题（每题有两个或者两个以上正确答案，每题5分，少选得3分，共20分）9．在锐角三角形ABC中，A，B，C为三个内角，a，b，c分别为A，B，C所对的三边，则下列结论成立的是（ ）A．若，则B．若，则B的取值范围是C．D．10．一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，2个白球，每次从中随机摸出1个球，则下列结论中正确的是（ ）A．若不放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为B．若不放回的摸球2次，则第一次摸到红球的概率为C．若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为D．若有放回的摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为11．在正方体中，棱长为1，点为线段上的动点（包含线段端点），则下列结论正确的是（ ）A．当时，平面B．当为中点时，四棱锥的外接球表面为C．的最小值为D．当时，点是的重心12．钻石是金刚石精加工而成的产品，是世界上最坚硬的、成分最简单的宝石，它是由碳元素组成的、具有立方结构的天然晶体．如图，已知某钻石形状的几何体由上、下两部分组成，上面为一个正六棱台（上、下底面均为正六边形，侧面为等腰梯形），下面为一个正六棱锥P-ABCDEF，其中正六棱台的上底面边长为a，下底面边长为2a，且P到平面的距离为3a，则下列说法正确的是（ ）（台体的体积计算公式：，其中，分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高）A．若平面平面，则正六棱锥P-ABCDEF的高为\nB．若，则该几何体的表面积为C．该几何体存在外接球，且外接球的体积为D．若该几何体的上、下两部分体积之比为7：8，则该几何体的体积为第II卷（非选择题）三、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．已知，，若，则的最大值为_________14．已知向量，，且在上的投影数量等于，则___________.15．已知菱形的边长为2，.将沿折起，使得点至点的位置，得到四面体.当二面角的大小为120°时，四面体的体积为___________；当四面体的体积为1时，以为球心，的长为半径的球面被平面所截得的曲线在内部的长为_______________.16．三棱锥中，顶点在底面的射影恰好是内切圆的圆心，若三个侧面的面积分别为12，16，20，底面的最长边长为10，则点到平面的距离为________；三棱锥外接球的直径是________.四、解答题(共0分)17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若_____________．（请从①；②；③这三个条件中任选一个填入上空）(1)求角C；(2)若时，求周长的最大值．18．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，，…，后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：\n(1)求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)估计本次考试的第50百分位数；(3)用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段内的概率．19．如图所示，已知在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，侧棱，，过点A的平面与侧棱PB，PD，PC相交于点E，F，M，且满足：，．(1)求证：直线平面PAD；(2)求证：直线平面AEMF；(3)求平面MDB与平面AEMF所成二面角的正弦值．20．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，该摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面米，匀速转动一周大约需要分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.(1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），求摩天轮转动一周的解析式；(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值.\n21．平行四边形ABCD中，，，如图甲所示，作于点E，将沿着DE翻折，使点A与点P重合，如图乙所示．(1)设平面PEB与平面PDC的交线为l，判断l与CD的位置关系，并证明；(2)当四棱锥的体积最大时，求二面角的正切值；(3)在（2）的条件下，G、H分别为棱DE，CD上的点，求空间四边形PGHB周长的最小值．22．已知区间D，若两个函数和对任意都有（其中，），则称函数是在区间D上的超k倍函数.(1)已知命题“区间，函数是在区间D上的超2倍函数”，试判断该命题的真假.若该命题为真命题，请予以证明；若为假命题，请举反例；(2)若函数是在上的超k倍函数，求实数k的取值范围；(3)已知区间，常数，若函数是在区间D上的超4倍函数，求实数c的取值范围.\n参考答案：1．D，故2．A由，得,因为三点共线，所以，即，解得.所以.3．D由题意，4．A解：由题意知全校师生的总人数为人，设应抽取高一年级学生的人数为，则，解得．所以应抽取高一年级学生的人数为人．5．B对于A，在如下图正方体中，，，，但与不垂直，所成角为，故A错误；对于B，若，，则，故B正确；对于C，若，，则或者，故C错误；对于D，如下图，在正方体中，，且l与所成的角和m与所成的角相等为，但则不平行，故D错误.6．A根据扇形面积公式得出母线长，由弧长公式得出底面圆的半径，最后由体积公式计算即可.设该圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，由，得．因为，所以，所以该圆锥的体积为．7．A取的中点，连接、，设正方体的棱长为，分析可知直线与所成角为或其补角，计算出、的长，即可求得的余弦值.取的中点，连接、，设正方体的棱长为，因为四边形为正方形，则且，、分别为、的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，故且，\n因为，，故直线与所成角为或其补角，平面，平面，则，故，因为，，所以，.因此，直线与所成角的余弦值是.8．B的定义域为，易得在上单调递增，又，∴只有一个零点．若和互为“零点相邻函数”，则在上存在零点．∴，解得或．（1）若，即或时，只有一个零点，显然当时，，当时，，不符合题意；（2）若，即或，①若在上存在1个零点，则，即，解得，．②若在上存在2个零点，则，∴．综上，的取值范围是．9．ACD解：对于选项A，因为A>B，所以有,所以，故正确；对于选项B，因为，则，所以，由可得的取值范围是，故错误；对于选项C，锐角三角形ABC中，，，∴，同理，，所以故正确；对于选项D，锐角三角形ABC中，因为，即，，又∵\n，∴，故正确．10．ACD对于A，若不放回的摸球3次，则恰好2次摸到红球的概率为，所以A正确，对于B，因为装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，所以不放回的摸球2次，则第一次摸到红球的概率，所以B错误，对于C，设事件为第一次摸到红球，事件为第二次摸到红球，则，，所以，所以若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为，对于D，若有放回的摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为，所以D正确，11．ACD利用等体积法求出点到平面的距离与的关系，利用面面平行的性质定理，即可判断选项A，当时，即三棱锥的高，即可判断选项D，当点为的中点时，四棱锥为正四棱锥，求出外接球的半径，即可判断选项B，由等面积法即可判断选项C．解：对于A，连接，，则，，，设点到平面的距离为，则，解得，所以，则当时，为与平面的交点，又，平面，平面，所以平面，同理可证平面，，平面，所以平面平面，平面，所以平面，\n对于B，当点为的中点时，四棱锥为正四棱锥，设平面的中心为，四棱锥的外接球半径为，则，解得，所以四棱锥的外接球表面积为，对于C，连接，，则，所以，由等面积法可得，的最小值为，所以的最小值为，对于D，由以上分析可得，当时，即三棱锥的高，所以平面，又三棱锥为正三棱锥，所以点是的重心，12．ABD分别取AF，，，CD的中点Q，R，S，T，连接RS，RQ，TS，TQ，得到Q，R，S，T四点共面，且点P，M，N均在该平面上，连接PM，则N在PM上，进而得到为二面角的平面角，进而判定A正确；连接PM，则，结合截面PORST，利用表面积公式可判定B正确；连接PM，设外接球半径为R，连接OA，，OD，，求得外接球的半径，可判定C错误；设该几何体上、下两部分的体积分别为，，结合，可得，利用，可判定D正确．【详解】设M，N分别为正六棱台上、下底面的中心．对于选项A，如图1，分别取AF，，，CD的中点Q，R，S，T，连接RS，RQ，TS，TQ，则，，可得Q，R，S，T四点共面，且点P，M，N均在该平面上，连接PM，则N在PM上，得如图2所示的截面PQRST，四边形QRST为等腰梯形，且为二面角的平面角，即，过点R作交QT于点L，则，可得，即，而，\n故，解得，故A正确；对于选项B，如图3为截面，依题意得，，连接PM，则，又，所以，，如图4为截面PORST，从而，，故该几何体的表面积，故B正确；对于选项C，如图5所示的截面，连接PM，依题意可知，，，若该几何体存在外接球，则外接球球心．在PM上，设外接球半径为R，连接OA，，OD，，得，，解得，又，矛盾，故该几何体不存在外接球，C错误；\n对于选项D，设该几何体上、下两部分的体积分别为，，，，则，，由，可得，结合，可知，，因此该几何体的体积，故D正确．13．正数，满足，，即，解得，故，当且仅当时取等号．的最大值为，14．在上的投影数量为，解得（舍）或.15． ## 如图1，过点P作PF⊥CO交CO的延长线于点F，则∠POF=60°，因为菱形的边长为2，，所以，，故四面体的体积为；当四面体的体积为1时，此时，解得：，，即O，F两点重合，即PO⊥底面BCD，如图2，以为球心，的长为半径的球面被平面所截得的曲线为以O为圆心，半径为的圆，落在内部的长为圆周长的一半，所以长度为.故答案为：，\n16． 依题意作出图形，设，，，即可得到，从而求出、，利用等体积法求出点到平面的距离，最后再求外接球的直径；【详解】解：不妨设，，，设在底面的射影为，分别作于点，于点，于点，则，，.依题意，为的内心，则，故，又，，，所以，所以，令，，.底面的最长边长为10，可得，解得，所以，，.设内切圆半径为，则，因为，即，解得，故，由，，得，所以，所以.设点到平面的距离为，由，，所以，所以；∵，∴点在以为直径的圆上，取中点为，则以为直径的圆的圆心为点，设三棱锥的外接球球心为点，连接，易知平面，又平面，则，过点作交于点，∵平面，平面，∴，即，\n∴四边形为矩形，则，，在平面上建立如图所示直角坐标系，则，，，，，设，若点在线段上，则，，在直角中，即，解得，故点在线段的延长线上，则，同理可得，解得，所以三棱锥的外接球半径为，三棱锥的外接球的直径为.17．(1)(2)18（1）若选①，首先根据正弦定理得到，再利用余弦定理即可得到，若选②，首先根据正弦定理得到，再利用辅助角公式即可得到，若选③，首先根据正弦定理得到，再利用余弦定理即可得到.（2）利用余弦定理再结合基本不等式求解即可.(1)若选①，因为，所以，，因为，所以.若选②，因为，所以，因为，所以，即.因为，所以，即.若选③，因为，所以，即，\n所以，，所以.(2)由①②③可得，由余弦定理：，即，所以，解得，当且仅当时取等号.所以周长的最大值是.18．(1)0.3，直方图见解析(2)(3)（1）由频率分布直方图，能求出分数在，内的频率，并能补全这个频率分布直方图；（2）由频率分布直方图能估计本次考试的第50百分位数；（3）用分层抽样的方法在分数段为，的学生中抽取一个容量为6的样本，则分数段为，中抽取的学生数为2人，分数段为，中抽取的学生数为4人，从中任取2个，利用列举法列举出所有基本事件，再根据古典概型即可得解．(1)解：由频率分布直方图，得：分数在，内的频率为：，，补全后的直方图如右图所示：(2)解：，的频率为，，的频率为：，第50百分位数为：；(3)解：用分层抽样的方法在分数段为，的学生中抽取一个容量为6的样本，则分数段为，中抽取的学生数为：人，设为，分数段为，中抽取的学生数为：人，设为，从中任取2个，有共15种，\n其中符合题意得有共9种，所以至多有1人在分数段内的概率为.19．(1)见解析(2)见解析(3)（1）由题易得：，再由线面平行的判定定理即可证明；（2）通过证明，，再由线面垂直的判定定理即可证明.（3）作出二面角的平面角，并解平面角所在的直角三角形.(1)因为底面ABCD是菱形，所以，平面PAD，平面PAD，所以直线平面PAD；(2)联结，，，因为，所以，又因为是菱形，所以，所以平面，所以，又，所以，所以，由已知条件得，，，由余弦定理得，，所以，所以，因为直线，相交，且，都在平面内，所以直线平面．(3)取为的中点，联结，，，则，又，所以平面平面，因为直线平面，联结，所以，，所以等于平面与平面所成二面角的平面角，由已知可得，，，\n所以．所以平面与所成二面角的正弦值是．20．(1)(2)(3)最大值为米对于小问1，根据离地面的最大值米、最小值米和周期为分钟，求出、、，再代入点解得.对于小问2，令，解出即得答案.对于小问3，根据题意，计算甲乙二人时间差，得到二人距离地面的高度表达式、，写出两人距离地面的高度差为米，由时间的取值范围，化简求出最大值.(1)由题意，（其中）摩天轮的最高点距离地面为米，最低点距离地面为米，所以，得，又函数周期为分钟，所以，又，所以，又，所以，所以.(2)，所以，整理，因为，所以，所以,解得（分钟）.(3)经过分钟后甲距离地面的高度为，乙与甲间隔的时间为分钟，所以乙距离地面的高度为，所以两人离地面的高度差\n当或时，即或分钟时，取最大值为米.21．(1)，证明见解析(2)(3)（1）利用线面平行的判定定理证明平面PBE,然后利用线面平行的性质定理即可得到证明；（2）当平面BCDE时体积最大，作交BC于点O，连接PO，即为二面角的平面角，在中，直接求解即可.（3）由展开图可知，B关于CD的对称点为，当A、G、H、共线时，周长最短，可得结果.(1)因为，平面PBE，平面PBE，所以平面PBE因为平面PCD，平面平面，所以．(2)当平面平面BCDE时，四棱锥的体积最大．平面平面BCDE=DE，平面PDE，,可得平面BCDE，平面BCDE，可得BC，作交BC于点O，连接PO，,可得平面POE，而PO在平面PEO中，故PO，即为二面角的平面角，在中，，，，所以二面角的正切值为．(3)由展开图可知，B关于CD的对称点为，，，由勾股定理可得，，当A、G、H、共线时，周长最短，此时．22．(1)命题为真命题，证明见解析(2)(3)（1）根据基本不等式判断即可；（2）令，进而根据题意得恒成立，再结合函数单调性求解即可；\n（3）由题知，再研究函数的单调性得其在上递增，故解不等式即可得答案.(1)解：命题为真命题，证明如下：由题得，则，所以该命题为真命题；(2)解：令，则恒成立，又在区间上单调递增，所以当时，，所以；(3)解：根据题意在上恒成立，即，令，取，则，因为，，则，，则，所以，所以函数在上递增，故，解得或，所以.
