山西大学附中2021～2022学年高三第一学期期中考试数学试题（理）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个选项正确）1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合，集合，则下列正确的是（）A．B．C．D．3．命题“都有”的否定是（）A．不存在B．存在C．存在D．对任意的4．某社区医院为了了解社区老人与儿童每月患感冒的人数（人）与月平均气温（）之间的关系，随机统计了某4个月的患病（感冒）人数与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温171382月患病（人）24334055由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温约为，据此估计该社区下个月老年人与儿童患病人数约为（）A．38B．40C．46D．585．下列函数中，既是奇函数，又在区间上为增函数的是（）A．B．C．D．6．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应有，0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则（）A．4B．C．2D．7．设函数，则下列结论正确的是（）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．把的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象D．在区间上为增函数8．已知点，若点C是圆上的动点，则面积的最小值为()A．3B．2C．D．9．如图，在河岸一侧取A，B两点，在河岸另一侧取一点C，若AB=12m，借助测角仪测得∠CAB=45°，∠CBA=60°，则C处河面宽CD为（）A．6（3+）mB．6（3-）m
C．6（3+2）mD．6（3-2）m10．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．函数有极大值和B．函数有极小值和C．函数有极小值和极大值D．函数有极小值和极大值11．已知在正四面体ABCD中，E是AD的中点，P是棱AC上的一动点，BP＋PE的最小值为，则该四面体内切球的体积为（）A．πB．πC．4πD．π12．已知则（）A.B.C.D.二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知平面向量，，若，则_______.14．设为等比数列的前n项和，若，且成等差数列，则______.15．已知下面四种几何体：①圆锥，②圆台，③三棱锥，④四棱锥，如图所示，某几何体的正视图与侧视图均是等腰三角形，则该几何体可能是___________（将符合条件的几何体编号都填上）.16．将函数的图像向右平移个单位，再把每个点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，则的解析式_________，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则的最小值为________．三、解答题：（共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生读必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分17．（本题12分）下图的茎叶图记录了甲，乙两组各八位同学在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为24，乙组数据的平均数为25.（1）求的值；（2）计算甲、乙两组数据的方差，并比较哪一组的成绩更稳定？
18．（本题12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19．（本题12分）已知等比数列的前项和为，且，数列满足，其中.（1）分别求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和.20．（本题12分）如图所示，已知椭圆的两焦点分别为，，为椭圆上一点，且+.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点在第二象限，，求的面积.．21．（本题12分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间与极值.（3）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围.（二）选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
（10分）22．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于两点，求两点间的距离的值．（10分）23．已知函数.（1）若，解不等式；（2）若，且的最小值为，求证：.山大附中2021~2022学年第一学期期中考试高三年级数学（理科）参考答案一、单选题123456789101112DDCCDACDBDDA二、填空题13：【答案】14．【答案】15．【答案】①③④16．【答案】三．解答题17．下图的茎叶图记录了甲，乙两组各八位同学在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为24，乙组数据的平均数为25.
（1）求x，y的值；（2）计算甲、乙两组数据的方差，并比较哪一组的成绩更稳定？【详解】（1）由，得，由，得．…………5分（2）设甲、乙两组数据的方差分别为、，甲组数据的平均数为，，，因为，所以乙组的成绩更稳定．…………12分18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形.（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，再由已知条件结合线面垂直的判定定理可得出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）证明出平面，，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，平面，所以.又因为，，所以平面.因为平面，所以平面平面；…………6分（2）取的中点，连接、，因为，所以.又因为平面，平面平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.因为，所以.以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，由题意得、、、、，所以，，.
设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以.所以，，则直线与平面所成角的正弦值为.…………12分19．已知等比数列的前项和为，且，数列满足，其中.（1）分别求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【详解】（1）设等比数列的公比为，由已知，可得，两式相减可得，
即，整理得，可知，已知，令，得，即，解得，故等比数列的通项公式为；由得：，那么，以上个式子相乘，可得，，又满足上式，所以的通项公式.…………6分（2）若，所以，，两式相减得：，所以.…………12分20．如图所示，已知椭圆的两焦点分别为，，为椭圆上一点，且+.
（1）求椭圆的标准方程；（2）若点在第二象限，，求的面积.【详解】（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，因为椭圆的两焦点分别为，，可得，，所以，可得，所以，则，所以椭圆的标准方程为．…………6分（2）因为点在第二象限，，在中，由．根据余弦定理得，即，解得，所以．…………12分21．已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间与极值.（3）若对任意的，都有恒成立，求a的取值范围.【详解】（1）当时，，，∴，∴，切点为，
∴曲线在点处的切线方程为，即；…………4分（2），①当时，恒成立，∴函数的递增区间为，无递减区间，无极值；②当时，令，解得或（舍）x，，的变化情况如下表：x－0＋极小值∴函数的递增区间为，递减区间为，.综上：当时，函数的递增区间为，无递减区间，无极值；当时，函数的递增区间为，递减区间为，.…………8分（3）对任意的，使恒成立，只需对任意的，.所以由（2）的结论可知，①当时，函数在上是增函数，∴，∴满足题意；②当时，，函数在上是增函数，∴，∴满足题意；③当时，，函数在上是减函数，在上是增函数，∴，
∴不满足题意.综上，a的取值范围为.…………12分22．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于，两点，求，两点间的距离的值．．【详解】（1）由参数方程可得，消去参数可得直线的普通方程为：，即；即，转化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程为；…………5分（2）∵的极坐标为，∴点的直角坐标为．∴，直线的倾斜角．∴直线的参数方程为．代入，得．设，两点对应的参数为，，则，∴．…………10分23．已知函数.（1）若，解不等式；
（2）若，且的最小值为，求证：.【详解】解：（1）当时，函数①当时，由得，所以无解②当时，由得，所以；③当时，由得，所以.综上，不等式的解集为.…………5分（2）因为，当时，取到最小值，所以，即.所以，当且仅当时等号成立.即成立.…………10分
