山西大学附中2021～2022学年高三第一学期期中考试数学试题（文）考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．若全集，，，则集合等于（）A．B．C．D．2．若复数，则（）A．B．C．D．3．函数的单调增区间为 A．B．C．，D．4．人类社会初期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位母亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗（从右往左数），满七进一，那么孩子已经出生多少天？ A．B．C．D．5．如图是相关变量，的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程，相关系数为．则 A．B．C．D．6．若，则 A．B．C．D．7．已知是抛物线的焦点，过焦点的直线交抛物线的准线于点，点在抛物线上且，则直线的斜率为 A．B．C．D．8．平行四边形中，为边上的中点，连接交于点，若，则 A．B．C．D．9．若，则
A．B．C．D．10.在三棱锥中，底面是面积为的正三角形，若三棱锥的每个顶点都在球的球面上，且点恰好在平面内，则三棱锥体积的最大值为 A．B．C．D．11．设，，，当取最小值时的的值为 A．2B．3C．4D．12．如图，函数的图象由一条射线和抛物线的一部分构成，的零点为，若不等式对恒成立，则的取值范围是 A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13．若，满足，则的最大值为 ．14．设函数，若，则 ．15.已知正项等比数列中，，表示数列的前项和，则的取值范围是 ．16.已知中，角对应的边分别为，且，，，则的最大值为 ．三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.（12分）某网站推出了关于地铁开通给太原市民生活带来便利情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占．现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，，得到的频率分布直方图如图所示．(Ⅰ)求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；(Ⅱ)现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组中抽到2人的概率．
18．（12分）在中，它的内角的对边分别为，且，．(Ⅰ)若，求的面积；(Ⅱ)试问能否成立？若能成立，求此时的周长；若不能成立，请说明理由．19．（12分）如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，点为上一点，且，，．(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求点到平面的距离．20．（12分）如图，已知圆与轴相切于点，与轴的正半轴交于，两点（点在点的左侧），且．(Ⅰ)求圆的方程；(Ⅱ)过点任作一条直线与圆相交于，两点，连接，，求证：为定值．
21．（12分）已知函数．(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；(Ⅱ)当时，若的极大值点为，求证：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(Ⅰ)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线交曲线于两点，求面积的最大值．23.（10分）选修4-5：不等式选讲已知，．(Ⅰ)当时，解不等式；(Ⅱ)若的最小值为1，求的最小值．山西大学附中2021～2022学年高三年级第一学期期中考试数学（文科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CACBDBADCBCA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．14．15．16．三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.【解答】解：（1）由，得．…………………2分平均数为；岁；………………4分设中位数为，则，岁．……6分
（2）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，………………………………………8分分别记为，，，，．设从5人中随机抽取3人，为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10个基本事件，…………………………………………10分第2组中抽到2人的情况有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共6种情况…………………………………………11分从而第2组中抽到2人的概率．…………………………………………12分18．【解答】解：（Ⅰ）由，可得，所以，即，………2分又因为，所以，………………………………………3分因为，所以，………………………………………………………4分所以；……6分（Ⅱ）假设能成立，所以，………………………………………7分由余弦定理，，所以，所以，故，解得或（舍，……………………………………10分此时，不满足，……………………………………………11分所以假设不成立，故不成立．………………………………………………12分19．【解答】
（1）证明：因为四棱柱为直四棱柱，所以，所以平面.…………………………………………………………………2分又，所以点为的中点，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面.…………………………………………………………………4分又在平面中，，由面面平行的判定定理可知，平面平面，……………………5分又平面，所以平面；…………………………………………6分（2）解：由（1）可知，为的中点，在梯形中，，所以为等边三角形，所以，又，所以，所以的面积，则，……………………………………………8分在中，，在中，由余弦定理可得，所以的面积为，……………………9分设点到平面的距离为，由等体积法有，则有，即，解得，故所求点到平面的距离为．……………………………………………12分20．【解答】
解：（Ⅰ）因为圆与轴相切于点，可设圆心的坐标为，，则圆的半径为；又，………………………………………………………1分所以，解得；……………………………………………………3分所以圆的方程为；………………………………………………4分（Ⅱ）证明：由（1）知，，，当直线的斜率为0时，易知，即；…………………6分当直线的斜率不为0时，设直线，将代入，整理得；…………………………………………………………8分设，，，，所以，………………………………9分则；综上，可得．…………………………………………………………12分21．【解答】解：（1）当时，函数，．，………………………………………2分可得函数在上单调递增，在上单调递减．因此函数的单调递增区间为，单调递减区间为．……………………4分（2）证明：当时，．令，△，………………………………………………………5分由△，解得，则，函数在上单调递增，无极值，不满足题意，舍去．……………………………………………………………………………6分由△，，解得，设方程的两个实数根分别为，，．
则，．则，．则，可得函数在上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增．…………………………………………………………………………………………8分可得的极大值点为，，令，，．，函数在上单调递增，在，上单调递减．……………………………10分．…………………………………11分．………………………………………………………………………12分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．【解答】解：（1）由参数），消去参数，可得，直线的普通方程为．……………………………………2分由得，，将，代入，得，曲线的直角坐标方程为；………………………………………………4分（2）根据题意，，设点，对应的参数分别为，，将直线的参数方程代入，得．故，，．……………6分点到直线的距离．……………………………………7分
．当且仅当，即时取等号．…………………………………9分面积的最大值为．……………………………………………………………10分23.【解答】解：（Ⅰ）当时，所求不等式即为，…………………1分当时，不等式即为，解得，此时不等式的解为；当时，不等式即为，解得，此时不等式的解为；当时，不等式即为，解得，此时不等式的解为，综上，不等式的解集为，；…………………………………………………………5分（Ⅱ）由于，当时等号成立，又，，的最小值为1，，则，………………………………………………………………7分，当且仅当“”时取等号，……………………………………………………7分的最小值为．………………………………………………………10分
