2021-2022学年天津市河东区高二（上）期中数学试卷一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线l：x+2y﹣3＝0的一个方向向量为（ ）A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）2．已知直线l的一个方向向量，且直线l过A（0，a，3）和B（﹣1，2，b）两点，则a+b＝（ ）A．0B．1C．D．33．若直线x+（1+m）y﹣2＝0和直线mx+2y+4＝0平行，则m的值为（ ）A．1B．﹣2C．1或﹣2D．4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是（ ）A．，，B．，，C．，，D．，，5．已知点A（﹣2，1），B（0，﹣3），则以线段AB为直径的圆的方程为（ ）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5B．（x+1）2+（y+1）2＝5C．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝20D．（x+1）2+（y+1）2＝206．已知两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣6x﹣8y+9＝0，那么这两个圆的位置关系是（ ）A．相离B．相交C．外切D．内切7．已知直线l过点A（a，0）且斜率为1，若圆x2+y2＝4上恰有3个点到l的距离为1，则a的值为（ ）A．±3B．±3C．±2D．8．已知向量＝（3，1，2），＝（﹣1，3，t），且与夹角的余弦值为，则t的取值可以是（ ）A．2B．﹣2C．4D．±29．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC线段上的点，且满足PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，则的坐标是（ ）A．（，0，）B．（，0，）C．（，，0）D．（，，0）二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10．直线x﹣y﹣3＝0的倾斜角为 ．,11．两平行直线l1：6x+8y﹣4＝0与l2：6x+8y﹣5＝0之间的距离为 ．12．若向量＝（0，1，﹣1），＝（1，1，0），则（﹣2）的值是 ．13．若直线l：x﹣y﹣＝0与圆C：x2+y2﹣4x+3＝0相交于A，B两点，O是坐标原点，则△OAB的面积是 ．14．已知直线l的方向向量为＝（1，，﹣1），若点P（﹣1，1，﹣1）为直线l外一点，A（4，1，﹣2）为直线l上一点，则P到直线l上的距离为 ．15．已知，，是空间三个不共面的向量，下列各组向量中不共面的是 ．三.解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（6分）已知直线l：x﹣y+1＝0，点A（﹣1，﹣2）．（1）求过点A且与l垂直的直线方程；（2）求点A关于直线l的对称点A′的坐标．17．（6分）已知＝（﹣2，3，5），＝（4，1，a），＝（6，b，﹣2）．（1）若四边形ABCD为平行四边形，求实数a，b的值；（2）若四边形ABCD的对角线互相垂直，求实数a，b满足的关系式．18．（8分）已知圆C的圆心在直线2x﹣y﹣2＝0上，且与直线l：3x+4y﹣28＝0相切于点P（4，4）．（1）求圆C的方程；（2）求过点Q（6，﹣15）与圆C相切的直线方程．19．（10分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点（Ⅰ）证明：BC⊥平面CC1E；（Ⅱ）求二面角E﹣B1C﹣C1的正弦值．20．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝3．M是AB,的中点，N是B1C1的中点，点P在线段A1N上，且A1P＝A1N，Q是BC1与B1C的交点．（Ⅰ）求证：PQ∥平面A1CM；（Ⅱ）在线段AA1上是否存在点S，使得直线CS与平面A1CM所成角的正弦值为？请说明理由．2021-2022学年天津市河东区高二（上）期中数学试卷一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线l：x+2y﹣3＝0的一个方向向量为（ ）A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）【解析】根据直线l的斜率求解．解：由直线l：x+2y﹣3＝0，可得直线的斜率k＝﹣，故x+2y﹣3＝0的一个方向向量为（2，﹣1），故选：A．本题考查直线的方向向量问题，是一道基础题．2．已知直线l的一个方向向量，且直线l过A（0，a，3）和B（﹣1，2，b）两点，则a+b＝（ ）A．0B．1C．D．3【解析】先求出＝（﹣1，2﹣a，b﹣3），由直线方向向量的定义列出方程，能求出a，b，由此能求出a+b的值．,解：∵直线l的一个方向向量，且直线l过A（0，a，3）和B（﹣1，2，b）两点，＝（﹣1，2﹣a，b﹣3），∴，解得a＝，b＝，∴a+b＝＝3．故选：D．本题考查两数和的求法，考查直线的方向向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．若直线x+（1+m）y﹣2＝0和直线mx+2y+4＝0平行，则m的值为（ ）A．1B．﹣2C．1或﹣2D．【解析】由两直线平行的充要条件，列出方程求解即可．解：直线x+（1+m）y﹣2＝0和直线mx+2y+4＝0平行，可得，得：m＝1，故选：A．本题主要考查两直线的位置关系．4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是（ ）A．，，B．，，C．，，D．，，【解析】依次判断四个选项中的向量是否是共面向量，即可判断是否可以作为基底，从而得到答案．解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，向量，，是共面向量，不能作为基底，故选项A错误；向量，，是共面向量，不能作为基底，故选项B错误；向量，，不是共面向量，能作为基底，故选项C正确；向量，，是共面向量，不能作为基底，故选项D错误．,故选：C．本题考查了空间向量中基底的概念，要知道不共面的向量才可以作为空间向量的基底，考查了逻辑推理能力，属于基础题．5．已知点A（﹣2，1），B（0，﹣3），则以线段AB为直径的圆的方程为（ ）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5B．（x+1）2+（y+1）2＝5C．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝20D．（x+1）2+（y+1）2＝20【解析】先利用中点坐标公式求出圆心的坐标，再有两点间距离公式求出AB的长度，即可得到圆的半径，求出圆的标准方程即可．解：因为点A（﹣2，1），B（0，﹣3），故AB的中点即为圆心，则圆心坐标为（﹣1，﹣1），AB为圆的直径，根据两点间距离公式AB＝＝＝2，故圆的半径为＝，所以以线段AB为直径的圆的方程为（x+1）2+（y+1）2＝5．故选：B．本题考查了圆的标准方程的求解，两点间距离公式的运用，中点坐标公式的运用，求解圆的标准方程，关键是确定圆心和半径，属于基础题．6．已知两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣6x﹣8y+9＝0，那么这两个圆的位置关系是（ ）A．相离B．相交C．外切D．内切【解析】分别求出两圆的圆心坐标和半径大小，利用两点的距离公式算出它们的圆心距为5，恰好等于两圆的半径之和，由此可得两圆相外切．解：∵x2+y2﹣6x﹣8y+9＝0化成标准方程，得（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16，∴圆x2+y2﹣6x﹣8y+9＝0的圆心为C1（3，4），半径r1＝4．同理可得圆x2+y2＝1的圆心为C2（0，0），半径r2＝1．∵两圆的圆心距为|C1C2|＝＝5，r1+r2＝5，∴|C1C2|＝r1+r2，可得两圆相外切．故选：C．本题给出两个定圆，求它们的位置关系，着重考查了圆的标准方程、圆与圆的位置关系等知识，属于基础题．7．已知直线l过点A（a，0）且斜率为1，若圆x2+y2＝4上恰有3个点到l的距离为1，则a,的值为（ ）A．±3B．±3C．±2D．【解析】由已知条件，设l：x﹣y﹣a＝0，结合点到直线的距离公式，即可求解．解：∵直线l过点A（a，0）且斜率为1，∴设l：x﹣y﹣a＝0，∵圆x2+y2＝4上恰有3个点到l的距离为1，∴圆心到直线的距离等于半径减去1，∴圆心（0，0）到直线l：y＝x+a的距离为，解得．故选：D．本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握点到直线的距离公式是解本题的关键，属于基础题．8．已知向量＝（3，1，2），＝（﹣1，3，t），且与夹角的余弦值为，则t的取值可以是（ ）A．2B．﹣2C．4D．±2【解析】利用空间向量夹角公式直接求解．解：∵向量＝（3，1，2），＝（﹣1，3，t），且与夹角的余弦值为，∴cos＜＞＝＝＝，解得t＝2．故选：A．本题考查实数值的求法，考查空间向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC线段上的点，且满足PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，则的坐标是（ ）A．（，0，）B．（，0，）C．（，，0）D．（，，0）【解析】建立空间直角坐标系，然后利用向量的线性运算将用基底表示，从而得到向量的坐标．解：因为PA＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，且AD⊥AB，设＝，＝，＝，,以{，，}为基底建立空间直角坐标系如图所示，因为M，N分别是AB，PC线段上的点，且PN＝2NC，AM＝2MB，则＝++＝﹣++＝﹣++（﹣++）＝+＝+，所以＝（，0，）．故选：B．本题考查了空间向量的坐标表示，空间向量的线性运算，关键是掌握空间向量坐标的求法以及向量的加减法的运算，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10．直线x﹣y﹣3＝0的倾斜角为 ．【解析】求得直线的斜率，由直线的斜率公式，可得所求倾斜角．解：直线x﹣y﹣3＝0的斜率为k＝，由k＝tanα，其中倾斜角α≠，可得α＝．故答案为：．本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11．两平行直线l1：6x+8y﹣4＝0与l2：6x+8y﹣5＝0之间的距离为 ．【解析】根据已知条件，结合平行直线之间的距离公式，即可求解．解：∵直线l1：6x+8y﹣4＝0与l2：6x+8y﹣5＝0平行，∴l1，l2之间的距离d＝．,故答案为：．本题主要考查平行直线之间的距离公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．12．若向量＝（0，1，﹣1），＝（1，1，0），则（﹣2）的值是 0 ．【解析】由已知求得﹣2的坐标，再由数量积的坐标运算求解．解：∵＝（0，1，﹣1），＝（1，1，0），∴﹣2＝（0，1，﹣1）﹣（2，2，0）＝（﹣2，﹣1，﹣1），则（﹣2）＝（﹣2，﹣1，﹣1）•（0，1，﹣1）＝﹣2×0﹣1×1﹣1×（﹣1）＝0．故答案为：0．本题考查空间向量的数乘、减法及数量积运算，是基础题．13．若直线l：x﹣y﹣＝0与圆C：x2+y2﹣4x+3＝0相交于A，B两点，O是坐标原点，则△OAB的面积是 ．【解析】根据已知条件，结合垂径定理和点到直线的距离公式，即可求解．解：由圆C：x2+y2﹣4x+3＝0，得（x﹣2）2+y2＝1，则圆心C（2，0），半径r＝1，圆心C到直线l的距离d＝，故|AB|＝＝，又∵原点O到直线l的距离h＝，∴＝．故答案为：．本题主要考查垂径定理和点到直线的距离公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．14．已知直线l的方向向量为＝（1，，﹣1），若点P（﹣1，1，﹣1）为直线l外一点，A（4，1，﹣2）为直线l上一点，则P到直线l上的距离为 ．【解析】根据点P到直线l的距离为||•sin＜，＞，分别计算向量的模长与夹角的正弦值即可求解．解：∵P（﹣1，1，﹣1），A（4，1，﹣2），,∴＝（5，0，﹣1），又＝（1，，﹣1），∴cos＜，＞＝＝，∴sin＜，＞＝，又∵||＝，∴点P（﹣1，1，﹣1）到直线l的距离为：||sin＜，＞＝×＝，故答案为：．本题考查点到直线l的距离，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，是基础题．15．已知，，是空间三个不共面的向量，下列各组向量中不共面的是 ①③ ．【解析】利用向量共面定理即可判断出结论．解：对于①，是空间三个不共面的向量，∴是不共面的向量，故①正确；对于②，假设存在实数s，t，使得，则s＝3，2s+2t＝0，3t＝﹣9，解得：s＝3，t＝﹣3，因此+2，2+3，﹣9+3是共面向量，故②不正确．对于③，假设存在实数s，t，使得+2＝s（+2）+t（+2）＝2t+s+（2s+t），则2t＝1，s＝2，2s+t＝0，无解，∴假设不成立，因此不共面，故③正确．故答案为：①③．本题考查了向量共面定理、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三.解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（6分）已知直线l：x﹣y+1＝0，点A（﹣1，﹣2）．（1）求过点A且与l垂直的直线方程；（2）求点A关于直线l的对称点A′的坐标．【解析】（1）由直线l的方程可得其斜率，进而求出与之垂直的直线的斜率，再由点斜式,方程求出过点A与直线l垂直的直线的方程；（2）由题意可得直线l为线段AA'的中垂线方程，进而求出点A'的坐标．解：（1）由直线l：x﹣y+1＝0，可得其斜率为1，所以可得与之垂直的直线的斜率﹣1，所以过点A与l垂直的直线方程为y+2＝﹣1（x+1），即过点A且与l垂直的直线方程：x+y+3＝0；（2）设A'的坐标（a，b），则直线l是线段AA'的中垂线，所以可得：，解得：，即A'的坐标（﹣3，0）．本题考查求与已知直线垂直的直线的斜率及点斜式求直线的方程，求点关于直线的对称点的坐标，属于基础题．17．（6分）已知＝（﹣2，3，5），＝（4，1，a），＝（6，b，﹣2）．（1）若四边形ABCD为平行四边形，求实数a，b的值；（2）若四边形ABCD的对角线互相垂直，求实数a，b满足的关系式．【解析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到＝，由此能求出a，b．（2）由已知求出＝＝（8，b﹣3，﹣7），再由四边形ABCD的对角线互相垂直，得＝0，由此能求出实数a，b满足的关系式．解：（1）∵＝（﹣2，3，5），＝（4，1，a），＝（6，b，﹣2），四边形ABCD为平行四边形，∴＝，∴（4，1，a）＝（﹣2，3，5）+（6，b，﹣2）＝（4，b+3，3），∴，解得a＝3，b＝﹣2．（2）∵＝（﹣2，3，5），＝（4，1，a），＝（6，b，﹣2），∴＝＝（8，b﹣3，﹣7），∵四边形ABCD的对角线互相垂直，,∴＝（4，1，a）•（8，b﹣3，﹣7）＝32+b﹣3﹣7a＝0，∴b﹣7a+29＝0．本题考查向量中参数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量的性质的合理运用．18．（8分）已知圆C的圆心在直线2x﹣y﹣2＝0上，且与直线l：3x+4y﹣28＝0相切于点P（4，4）．（1）求圆C的方程；（2）求过点Q（6，﹣15）与圆C相切的直线方程．【解析】（1）由圆的切线性质可知，过点P且与l垂直的直线过圆心，结合圆心在直线2x﹣y﹣2＝0上，联立可解出圆心坐标，然后半径可求，即可得解；（2）根据直线和圆相切的等价条件即可求过点Q（6，﹣15）且与圆C相切的切线方程．解：（1）过点P（4，4）与直线l：3x+4y﹣28＝0垂直的直线m的斜率为k＝，所以直线m的方程为y﹣4＝（x﹣4），即4x﹣3y﹣4＝0．由，解得C（1，0）．所以r＝＝5．故圆C的方程为：（x﹣1）2+y2＝25．（2）①若过点Q（6，﹣15）的直线斜率不存在，即直线是x＝6，与圆相切，符合题意；②若过点Q（6，﹣15）的直线斜率存在，设直线方程为y+15＝k（x﹣6），即kx﹣y﹣6k﹣15＝0，若直线与圆C相切，则有＝5解得k＝﹣．此时直线的方程为﹣x﹣y﹣7＝0，即4x+3y+21＝0．综上，切线的方程为x＝6或4x+3y+21＝0．本题考查直线与圆的方程以及位置关系，关键是求出圆C的方程，属于中档题．19．（10分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点,（Ⅰ）证明：BC⊥平面CC1E；（Ⅱ）求二面角E﹣B1C﹣C1的正弦值．【解析】（1）建系，证明，同时利用CC1⊥底面ABCD，得到BC⊥CC1，最后根据线面垂直的判定定理可得结果．（2）分别得到平面CEB1、平面CC1B1的一个法向量，然后根据空间向量的夹角公式计算即可．（1）证明：因为侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以A1A⊥AB，A1A⊥AD，AB⊥AD，所以AD，AA1，AB两两互相垂直，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，B1（0，2，2），C1（1，2，1），C（1，0，1），E（0，1，0），B（0，0，2），，，，所以，所以，又CC1∥A1A，所以CC1⊥底面ABCD，,则BC⊥CC1，CE∩CC1＝C，CE，CC1⊂平面CC1E，所以BC⊥平面CC1E，（2）解：，设平面CEB1的一个法向量为，设平面CC1B1的一个法向量为，所以，令y1＝2，则x1＝3，z1＝﹣1，所以，，令x2＝1，则z2＝1，所以，所以，所以，所以二面角E﹣B1C﹣C1的正弦值为．本题主要考查线面垂直的证明，二面角的余弦值的求解，空间向量的应用等知识，属于中等题．20．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝3．M是AB的中点，N是B1C1的中点，点P在线段A1N上，且A1P＝A1N，Q是BC1与B1C的交点．（Ⅰ）求证：PQ∥平面A1CM；（Ⅱ）在线段AA1上是否存在点S，使得直线CS与平面A1CM所成角的正弦值为？请说明理由．,【解析】（Ⅰ）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面A1CM的法向量，由向量垂直的坐标表示证明，即可证明结论；（Ⅱ）假设线段AA1上存在点S，使得直线CS与平面A1CM所成角的正弦值为，设AS＝h（0≤h≤3），求出CS的方向向量，由线面角的向量公式列出方程，求解即可．（Ⅰ）证明：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A1（0，0，3），C（2，0，0），M（0，1，0），N（1，1，3），，所以，，故，所以，设平面A1CM的法向量为，则，即，令z＝2，则x＝3，y＝6，故，所以，则，因为PQ⊄平面A1CM，故PQ∥平面A1CM；（Ⅱ）解：假设线段AA1上存在点S，使得直线CS与平面A1CM所成角的正弦值为，不妨设AS＝h（0≤h≤3），,则S（0，0，h），故，所以＝，故＝，解得h＝2，所以S为线段AA1上靠近A1的三等分点时，直线CS与平面A1CM所成角的正弦值为．本题考查了空间向量在立体几何中的综合应用，向量法证明线面平行的应用，向量垂直的坐标表示，线面角的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
