天津市河东区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题一、单选题1．方程x2=x的解是（ ）A．x=1B．x=0C．x1=1，x2=0D．x1=﹣1，x2=0【答案】C【详解】试题解析：x2-x=0，x（x-1）=0，x=0或x-1=0，所以x1=0，x2=1．故选C．考点：解一元二次方程-因式分解法．2．方程（x+1）（x+2）＝0化为一般形式后，常数项为（ ）A．6B．﹣8C．2D．﹣4【答案】C【分析】首先利用多项式乘法计算方程的左边，可化为x2+3x+2＝0，进而可得到常数项．【详解】解：（x+1）（x+2）＝0，x2+3x+2＝0，常数项为2，故选：C．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．3．点P(3，﹣2)关于原点O的对称点的坐标是（ ）A．(3，﹣2)B．(﹣3，2)C．(﹣3，﹣2)D．(2，3)23,【答案】B【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．【详解】解：点P（3，﹣2）关于原点O的对称点P'的坐标是（﹣3，2）．故选：B．【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．4．下列图形中，是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项符合题意；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．5．对于二次函数的图象，下列说法正确的是()A．开口向上B．对称轴是x=-3C．当x>-4时，y随x的增大而减小D．顶点坐标为(-2，-3)【答案】B【分析】根据抛物线的性质由a=-2得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为（-3，0），23,对称轴为直线x=-3，当x>-3时，y 随 x的增大而减小．【详解】解：二次函数y=-2（x+3）2的图象开口向下，顶点坐标为（-3，0），对称轴为直线x=-3，当x>-3时，y随x的增大而减小，故B正确，A、C、D不正确，故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下．6．把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】直接利用抛物线平移规律：“上加下减，左加右减”，进而得出平移后的解析式．【详解】解：抛物线y=5x2的顶点坐标为（0，0），∵向左平移2个单位．再向上平移3个单位，∴0+2=2，0+3=3，∴平移后的顶点坐标为（2，3），∴平移后的抛物线解析式为y=5（x+2）2+3．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图形与几何变换，是基础题，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．7．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠CDB＝30°，BC＝4.5，则AB的长度为（ ）23,A．6B．3C．9D．12【答案】C【分析】连接，由圆周角定理得，，再由含角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：如图，连接．为的直径，，，，，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．8．下列说法正确的是（）A．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为3的概率是．B．某种彩票中奖的概率是，那么买10000张这种彩票一定会中奖．C．掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”的概率与“一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上”的概率相同．D．通过大量重复试验，可以用频率估计概率．【答案】D【分析】23,利用随机事件的性质，等可能事件的概率，判断即可．【详解】A、掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为3的概率是，故错误；B、某种彩票中奖的概率是，即中奖的可能性为，因此买10000张这种彩票也不一定会中奖，故错误；C、连续掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”的概率是，“一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上”的概率是，故错误；D、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确．故选择：D【点睛】本题考查概率的意义，理解概率的意义是正确判断的前提．9．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是，现将绕点按逆时针方向旋转，则旋转后点的坐标是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】在网格中绘制出CA旋转后的图形，得到点C旋转后对应点．【详解】如图，绘制出CA绕点A逆时针旋转90°的图形，23,由图可得：点C对应点的坐标为(-2，3)．故选B．【点睛】本题考查旋转，需要注意题干中要求顺时针旋转还是逆时针旋转．10．若点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝（a为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1【答案】B【分析】根据反比例函数的性质得出反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据点的坐标特点得出即可．【详解】解：∵反比例函数的解析式为y＝（a为常数），∴反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，∵点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝（a为常数）的图象上，∴A在第三象限内，B、C在第一象限内，∴y1＜0，0＜y3＜y2，∴y1＜y3＜y2，故选：B．【点睛】23,本题考查了反比例函数图象和性质，能熟记反比例函数的性质的内容是解此题的关键．11．反比例函数y＝﹣与一次函数y＝x﹣2在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）A．B．C．D．【答案】C【分析】反比例函数y＝﹣的图象位于第二、四象限，一次函数y＝x﹣2的图象必过第一、三象限，且与y轴的交点在y轴负半轴上，根据以上两个特征即可确定结果．【详解】∵y＝﹣中的比例系数为-4∴反比例函数y＝﹣的图象位于第二、四象限∵一次函数y＝x﹣2中比例系数为正数1∴一次函数y＝x﹣2的图象必过第一、三象限∵一次函数y＝x﹣2中b=-2∴一次函数y＝x﹣2的图象还过第四象限即一次函数y＝x﹣2的图象过第一、三、四象限所以满足题意的是选项C故选：C【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象与性质，在给定了反比例函数与一次函数的解析式后，根据它们的比例系数即可确定函数图象经过的象限，根据一次函数的b的符合可最后确定一次函数所经过的象限．12．抛物线的图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③的最大值为3；④方程23,有实数根．其中正确的为（）A．①②B．①③C．②③D．②④【答案】D【分析】根据抛物线的对称性与过点，可得抛物线与轴的另一个交点为可判断②，再依次判断可判断①，由对称轴为直线，可判断③，由函数与的图象有两个交点，可判断④，从而可得答案.【详解】解：抛物线的图象过点，对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点为：则故②符合题意；抛物线与轴交于正半轴，则则故①不符合题意；对称轴为直线，当时，故③不符合题意；当时，则而函数与的图象有两个交点，方程有实数根．故④符合题意；综上：符合题意的是：②④故选D【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的图象与性质判断的符号以及代数式的符号，函数的最值，方程的根”是解本题的关键.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题13．若m是方程2x2﹣3x﹣2＝0的一个根，则﹣6m2+9m﹣13的值为_____．23,【答案】﹣19【分析】由已知可得2m2﹣3m﹣2＝0，再化简所求代数式为﹣6m2+9m﹣13＝﹣3（2m2﹣3m）﹣13，即可求解．【详解】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣2＝0的一个根，∴2m2﹣3m﹣2＝0，∴2m2﹣3m＝2，∴﹣6m2+9m﹣13＝﹣3（2m2﹣3m）﹣13＝﹣3×2﹣13＝﹣19故答案为：﹣19．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解与一元二次方程的关系，灵活变形所求代数式是解题的关键．14．一个袋中有形状材料均相同的白球2个、红球3个，任意摸一个球是红球的概率_____．【答案】【分析】袋中有五个小球，3个红球，2个白球，利用概率公式直接求解即可求得答案．【详解】解：袋中有五个小球，3个红球，2个白球，形状材料均相同，从中任意摸一个球，摸出红球的概率为，故答案是：．【点睛】本题考查概率的求法，解题的关键是掌握如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率（A）．15．如图，半径为2的与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD的长为______．23,【答案】##【分析】连接OB，OD，根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠A，根据切线的性质可求出∠OBA、∠ODE，从而可求出∠BOD的度数，根据弧长的公式即可得到结论．【详解】解：连接OB，OD，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠E＝∠A＝．∵AB、DE与⊙O相切，∴∠OBA＝∠ODE＝90°，∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，∴劣弧BD的长为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．16．抛物线y＝﹣x2+2x﹣1的图象与x轴交点的个数是_____．【答案】1【分析】根据判别式△=b2-4ac=0即可求解．【详解】23,解：∵y＝﹣x²+2x﹣1中△＝2²﹣4＝0，∴抛物线与x轴有1个交点，故答案为：1．【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点的知识点，解答本题的关键是掌握二次函数的图象的性质，此题难度一般．．17．有七张正面分别标有数字﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣1）x+（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根，且使反比例函数y＝的图象分布在一、三象限的概率是_____．【答案】【分析】令根的判别式Δ＞0可求出使关于x的一元二次方程x²﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根的a的值，利用反比例函数的性质得出a＜3，求得符合题意的数字为0，1，2，再利用随机事件的概率＝事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数即可求出结论．【详解】解：令Δ＝[﹣2（a﹣1）]²﹣4a（a﹣3）＝4a+4＞0且a≠0，解得：a＞﹣1且a≠0，∴使关于x的一元二次方程x²﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根的数有1，2，3．∵反比例函数y＝的图象分布在一、三象限，∴3﹣a＞0，∴a＜3，∴符合题意的数字为1，2，∴该事件的概率为．故答案为：．【点睛】本题考查一元二次函数判别式、一次函数图像的象限分布、概率的综合，掌握这三方面的知识才能解出此题．23,18．如图，点C是半圆上一动点，以BC为边作正方形BCDE（使在正方形内），连OE，若AB＝4cm，则OE的最大值为_____cm．【答案】【分析】如图，连接OD，OE，OC，设DO与⊙O交于点M，连接CM，BM，通过△OCD≌△OBE（SAS），可得OE＝OD，通过旋转观察如图可知当DO⊥AB时，DO最长，此时OE最长，设DO与⊙O交于点M，连接CM，先证明△MED≌△MEB，得MD＝BM．再利用勾股定理计算即可．【详解】解：如图，连接OD，OE，OC，设DO与⊙O交于点M，连接CM，BM，∵四边形BCDE是正方形，∴∠BCD＝∠CBE＝90°，CD＝BC＝BE＝DE，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠BCD+∠OCB＝∠CBE+∠OBC，即∠OCD＝∠OBE，∴△OCD≌△OBE（SAS），∴OE＝OD，根据旋转的性质，观察图形可知当DO⊥AB时，DO最长，即OE最长，∵∠MCB＝∠MOB＝×90°＝45°，∴∠DCM＝∠BCM＝45°，∵四边形BCDE是正方形，∴C、M、E共线，∠DEM＝∠BEM，在△EMD和△EMB中，，∴△MED≌△MEB（SAS），23,∴DM＝BM＝＝＝2（cm），∴OD的最大值＝2+2，即OE的最大值＝2+2；故答案为：（2+2）cm．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，解题的关键是OD取得最大值时的位置，学会通过特殊位置探究得出结论．评卷人得分三、解答题19．解方程：（1）x2﹣3x＝0；（2）2x（3x﹣2）＝2﹣3x．【答案】（1）x1＝0，x2＝3（2）【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先移项，再用提公因式法分解因式解方程即可.（1）解：x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，∴x＝0或x﹣3＝0，∴x1＝0，x2＝3；（2）23,解：2x（3x﹣2）＝2﹣3x，2x（3x﹣2）+（3x﹣2）＝0，则（3x﹣2）（2x+1）＝0，∴3x﹣2＝0或2x+1＝0，解得x1＝，x2＝﹣1．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式．在一次购物中，马老师和赵老师随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付．（1）请用列表法或画树状图法，求两位老师所有可能出现的支付方式；（2）求两位老师恰好都选择“微信”支付的概率．【答案】（1）见解析，（2）【分析】（1）把“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为：A、B、C，列表可得所有结果；（2）共有9种等可能的结果，其中马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的结果有1种，再由概率公式求解即可．【详解】（1）把“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为：A、B、C，列表如下：ABCA（A，A）（B，A）（C，A）B（A，B）（B，B）（C，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（2）共有9种等可能的结果，其中马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的结果有1种，23,∴马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的概率为．【点睛】此题考查的是列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．如图，BE是的直径，点A和点D是上的两点，过点A作的切线交BE延长线于点C．（1）若，求的度数；（2）若，，求AC的长．【答案】（1）；（2）【分析】（1）连接OA，利用圆周角定理与切线的性质再利用三角形的内角和定理解答即可；（2）先求解根据含的直角三角形的性质先求出半径，从而可得答案．【详解】解：（1）如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∵∠ADE=25°，∴∠AOE=2∠ADE=50°，∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°；（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，23,∠AOC=2∠B，∴∠AOC=2∠C，∵∠OAC=90°，∴∠AOC+∠C=90°，∴3∠C=90°，∴∠C=30°，∴OA=OC，设⊙O的半径为r，∵CE=2，∴，解得：r=2，∴OA=r=2，∴AC=．【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，圆的切线的性质，含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，作出过切点的半径构建直角三角形是解本题的关键.22．已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点(－3，0)，(2，－5)．(1)试确定此二次函数的解析式；(2)请你判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上，【分析】（1）根据给定点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）代入x=-2求出y值，将其与3比较后即可得出结论．【详解】（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+3；∵二次函数的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5），则有：解得；∴y=﹣x2﹣2x+3．（2）把x=-2代入函数得y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=﹣4+4+3=3，∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上，【点睛】23,考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.23．某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系，（其中，且x为整数）（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）；（2）当售价为70元时，商家所获利润最大，最大利润是4500元【分析】（1）利用待定系数法分段求解函数解析式即可；（2）分别求出当时与当时的销售利润解析式，利用二次函数的性质即可求解．【详解】解：（1）当时，设，将和代入，可得，解得，即；当时，设，将和代入，可得，解得，即；23,∴；（2）当时，销售利润，当时，销售利润有最大值，为4000元；当时，销售利润，该二次函数开口向上，对称轴为，当时位于对称轴右侧，当时，销售利润有最大值，为4500元；∵，∴当售价为70元时，商家所获利润最大，最大利润是4500元．【点睛】本题考查一次函数的应用、二次函数的性质，根据图象列出解析式是解题的关键．24．将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，其中点E与点B，点G与点D分别是对应点，连接BG．（1）如图，若点A，E，D第一次在同一直线上，BG与CE交于点H，连接BE．①求证：BE平分∠AEC．②取BC的中点P，连接PH，求证：PHCG．③若BC＝2AB＝2，求BG的长．（2）若点A，E，D第二次在同一直线上，BC＝2AB＝4，直接写出点D到BG的距离．【答案】（1）①见解析；②见解析；③（2）【分析】23,（1）①根据旋转的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，于是得到结论；②如图1，过点作的垂线，根据角平分线的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的中位线定理即可得到结论；③如图2，过点作的垂线，解直角三角形即可得到结论．（2）如图3，连接，，过作交的延长线于，交的延长线于，根据旋转的性质得到，，解直角三角形得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论．（1）解：①证明：矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，，，又，，，平分；②证明：如图1，过点作的垂线，平分，，，，，，，，，，即点是中点，又点是中点，23,；③解：如图2，过点作的垂线，，，，，，，，，；（2）解：如图3，连接，，过作交的延长线于，交的延长线于，，，将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，，，点，，第二次在同一直线上，，，23,，，，，，，，，．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是正确地作出辅助线．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c，与y轴交于点A，与x轴交于点E、B．且点A(0，5)，B(5，0)，点P为抛物线上的一动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，若点P在AC的上方，作PD平行于y轴交AB于点D，连接PA，PC，当S四边形APCD＝时，求点P坐标；（3）设抛物线的对称轴与AB交于点M，点Q在直线AB上，当以点M、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5（2）P(2，9)或(3，8)23,（3）Q(﹣1，6)或(0，5)或(9，﹣4)【分析】（1）由点A，B坐标用待定系数法可求出抛物线解析式；（2）设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t2+4t+5），D（t，﹣t+5），求出S四边形APCD＝﹣2t2+10t，S△AOE＝，由题意得出方程求出t即可得出答案；（3）分EM为边和为对角线两种情况进行求解：①当EM为平行四边形的边时，由EM＝PQ建立方程求解；②当EM为对角线时，由EM与PQ互相平分建立方程组求解即可．（1）将点A（0，5），B（5，0）分别代入y＝﹣x2+bx+c得，，∴，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x+5；（2）∵AC∥x轴，点A（0，5），∴当y＝5时，﹣x2+4x+5＝5，∴x1＝0，x2＝4，∴C（4，5），∴AC＝4，设直线AB的解析式为y＝mx+n，将A（0，5），B（5，0）分别代入y＝mx+n得，，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5；设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t2+4t+5），D（t，﹣t+5），∴PD＝（﹣t2+4t+5）﹣（﹣t+5）＝﹣t2+5t，∵AC＝4，23,∴S四边形APCD＝PD＝（﹣t2+5t）＝﹣2t2+10t，函数y＝﹣x2+4x+5，当y＝0时，有﹣x2+4x+5＝0，∴x1＝﹣1，x2＝5，∴E（﹣1，0），∴OE＝1，又∵OA＝5，∴＝＝，∵S四边形APCD＝S△AOE，∴＝12，解得：t1＝2，t2＝3，∴P(2，9)或(3，8)；（3）∵抛物线的对称轴与y＝﹣x+5交于点M，∴M（2，3），设Q（a，﹣a+5），P（m，﹣m2+4m+5），若EM＝PQ，四边形EMPQ为平行四边形，∴，解得或，∴Q（﹣1，6）或（0，5）；若EM＝PQ，四边形EMQP为平行四边形，同理求出Q（9，﹣4）；若EM为对角线，则，解得（不合题意舍去）或(不合题意舍去)，综合以上可得出点Q的坐标为Q(﹣1，6)或(0，5)或(9，﹣4)．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，四边形面积的求法，解本题的关键是求抛物线解析式，确定点Q的坐标时，分类讨论是解本题的难点．23
